On a certain partition function. (Q2586197)

Es sei \(a_m\) die Anzahl der Zerlegungen der natürlichen Zahl \(m\) in positive Summanden von der Form \(6n \pm 1\), so daß \[ \frac{f(x) \, f(x^6)}{f(x^2)\, f(x^3)} = \sum_{m=0}^\infty a_m x^m \quad \text{ mit } \quad f(x) = \prod_{j=1}^\infty (1- x^j)^{-1} \quad \text{ gilt}. \] Unter Benutzung einer Methode von \textit{Rademacher} (Amer. J. Math. 60 (1938), 501-512; F. d. M. \(64_{\text{I}}\), 122) beweist Verf. die Formel: \[ a_m = 2\pi \sum_{m=0}^N B_k(m) L_k(m) + O\left( e^{\frac{2\pi m}{N^2}} m^{\frac 13} N^{-\frac 13 + \varepsilon}\right); \] dabei ist \[ L_k(m) = \frac{1}{k\sqrt{2m-1}} \, J_1\left(\frac{\pi \sqrt{2m-1}} {3k}\right) \;\text{ oder } = \frac{1}{k\sqrt{72 m - 6}} \, J_1 \left(\frac{\pi \sqrt{72 m - 6}}{18k}\right) \;\text{ oder } \;= 0 \] (\(J_1\) ist die Besselsche Funktion erster Art), je nachdem \((k, 6) = 6\) oder \((k, 6) = 1\) oder \((k, 6) = 2, 3\) ist, und \[ B_k(m) = \sum_{\substack{ h \mod k \\ (h, k) = 1 }} \varOmega_{h, k} e^{-\tfrac{2\pi i hm}{k}} \] mit \[ \varOmega_{h, k} = e^{\tfrac{\pi i}{12}\left(\tfrac{2h}{k} \tfrac{2h^\prime}{k} + \tfrac{2hk}{3} + \tfrac{h^\prime k}{3}\right)} \;\text{ oder } \;= e^{-\tfrac{\pi i}{k}\left(2hk - \tfrac{2h}{k} \tfrac{h^\prime k}{3} + \tfrac{h^\prime}{3k}\right)} \] (\(h h^\prime \equiv -1 \pmod{12k}\)), je nachdem \((k, 6) = 6\) oder \(= 1\) ist. Speziell ist also \[ a_m = 2\pi \sum_{k=1}^\infty B_k(m) L_k(m). \]