Sur un problème additif de la théorie des nombres. (Q2586199)

Verf. behandelt die Darstellung eines Systems von natürlichen Zahlen \(0 < N_1 < \cdots < N_n\) bei vorgegebenem \(n\) in der Form \[ N_k = \sum_{\nu=1}^s p_\nu^k \qquad (k = 1, 2, \dots, n), \tag{1} \] wo \(p_1, \dots, p_s\) Primzahlen sind. Es werden ähnliche Methoden angewendet und ähnliche Ergebnisse erzielt wie bei einem früher vom Verf. untersuchten verwandten Problem (Bull. Acad. Sci. URSS., Moscou, Cl. Sci. math. natur. Sér. math. 1937, 609-631; F. d. M. \(63_{\text{II}}\), 894). Sei \(s \geqq 5n(n + 1) (n + 2)\,\log\, n\). Zu den durch \(N_k = h_k N_n^{\frac kn}\) \ \((k = 1, 2, \dots, n)\) definierten Zahlen \(h_k\) möge es ein \(\varepsilon > 0\) geben, so daß mit \(h_k - \varepsilon \leqq h_k^\prime \leqq h_k\) \ \((k = 1,2, \dots, n)\) das Gleichungssystem \(\xi^k + \cdots + \xi_s^k = h_k^\prime\) \ \((k = 1, 2, \dots, n)\) mit positiven \(\xi_\nu\) lösbar ist. Sei \[ D(a_1, q_1; \dots; a_n, q_n) = \frac{1}{\varphi(q_1 q_2 \dots q_n)} \, \underset {r} {\sum\nolimits^\prime} \, \exp \left[2\pi i \left(\frac{a_n}{q_n} r^n + \cdots + \frac{a_1}{q_1} r\right)\right], \] wo \((a_k, q_k) = 1\) und \(r\) das reduzierte Restsystem modulo \(q_1 q_2 \cdots q_n\) durchläuft, \[ A(q_1, \dots, q_n; s; N_1, \dots, N_n) = \underset{a_1, \dots, a_n} {\sum\nolimits^\prime} \, D^s \, \exp\,\left[-2\pi i \left(\frac{a_n}{q_n} N_n + \cdots + \frac{a_1}{q_1} N_1\right) \right], \] wo \(a_k\) das reduzierte Restsystem mod \(q_k (k = 1, \dots, n)\) durchläuft, \[ \mathfrak S (N_1, \dots, N_n; s) = \sum_{q_1, \dots, q_n = 1}^\infty A(q_1, \dots, q_n; s; N_1, \dots, N_n). \] Dann hat man für die Anzahl \(I(N_1, \dots, N_n; s)\) der Lösungen von (1) in Primzahlen \(p_1, \dots, p_s\) \[ \begin{multlined} I(N_1, \dots, N_n; s) = B(h_1, \dots, h_{n^{-1}}; s) N_n^{\tfrac sn - \tfrac{n+1}{2}} (\log\, N_n)^{-s} \cdot \mathfrak S (N_1, \dots, N_n; s) \\ + O\left( N_n^{\tfrac sn - \tfrac{n+1}{2}} \cdot (\log\, N_n)^{-s - \omega}\right). \end{multlined} \] Hier ist \[ 0 < C_1 \leqq B(h_1, \dots, h_{n-1}; s) \leqq C_2, \] wo \(C_1\) und \(C_2\) nur von \(n\) und \(s\) abhängen, und \(\omega\) eine beliebige positive Konstante. Ferner werden hinreichende Bedingungen für die Existenz einer Lösung von (1) angegeben. (Vgl. die auf S. 152 besprochene Arbeit von \textit{L. K. Hua}, wo die \(p_\nu\) nicht Primzahlen zu sein brauchen.)