Distribution of primes of an arithmetical progression to a given modulus. (Q2586215)

In Verallgemeinerung eines früheren Ergebnisses (Bull. Acad. Sci. URSS, Sér. math. 1939, 371-398; F. d. M. 65) beweist Verf. einen Satz über die Verteilung der Reste der Primzahlen einer arithmetischen Progression nach einem gegebenen Modul. Der grundlegende Satz lautet: Sei \(0 < \eta\leqq \dfrac 16\) sonst beliebig vorgegeben, \[ \begin{gathered} N>2, \quad 1\leqq A \leqq N, \quad \alpha=\frac aq, \quad (a,q)=1, \quad 0<q \leqq N, \\ 0\leqq L < Q, \quad (Q,L) = 1, \quad (Q,q) = 1. \end{gathered} \] Dann ist \[ \sum_{_{\substack{ N-A < p \leqq N \\ p\equiv L \pmod Q}}} e^{2\pi i \alpha p}=O\left(\frac 1Q\varDelta\right), \quad \text{wo} \quad \varDelta = N^\eta \sqrt{\frac 1q+\frac{N^{\frac 23}Q}A+\frac{NQ^2q}{A^2}}. \] Seien noch \(Q \leqq A\), \(P\) die kleinsten positiven Reste modulo \(q\) der Primzahlen \(p\) mit \[ N-A < p \leqq N, \quad p\equiv L \pmod Q, \] \(T\) die Gesamtzahl dieser Reste (also die zahl der erwähnten Primzahlen), \(T_1\) die Zahl der Reste \(P\) im Intervall \(0 \leqq P < \sigma q\) (\(0 < \sigma \leqq 1\)). Dann folgt aus dem ersten Satz \[ T_1=\sigma T + O\left( \frac AQ\varDelta\right). \]