On the number of solutions of certain congruences. (Q2586221)

Es sei \(p\) eine Primzahl und \(f(x)\) ein Polynom vom Grade \(k\) mit ganzzahligen Koeffizienten, die nicht alle durch \(p\) teilbar sind. Weiter sei \(N(s,p,n)\) die Anzahl der Lösungen der Kongruenz \[ \sum_{\nu=1}^s f(x_\nu)\equiv n \pmod p, \quad 0<x_\nu \le p \quad (\nu=1, 2, \ldots, s), \] und es sei \[ S=S(f(x))=\sum_{x=1}^p e^{\tfrac{2\pi i f(x)}p}, \quad T(s)=T(s,f(x))=\sum_{a=1}^{p-1}|S(af(x))|^s. \] Es ist \[ N(s,p,n) = p^{s-1} + O\left(\frac{T(s)}p\right). \] Verff. geben eine Reihe von Abschätzungen für \(T(s)\) und die daraus sich ergebenden Abschätzungen für \(N(s,p,n)\). Es ist: 1) \(T(2)=O(p^2)\); 2) für \(s \ge 3\) folgt unter Benutzung einer Abschätzung von \textit{H. Davenport} für \(S\) [J. Reine Angew. Math. 169, 158--176 (1933; JFM 59.0370.03; Zbl 0006.29501)], daß \[N(s,p,n)= p^{s-1} + O\left(p^{s-1-\tfrac{s-2}m}\right)\] ist (hier ist \(m=\tfrac83\) für \(k=3\), und für \(k> 3\) ist \(m\) die größte Zahl von der Form \(2^g\) oder von der Form \(3\cdot 2^g\), welche \(\le k\) ist); 3) für \(k\ge 3\) ist \(T(2k)=O(p^{2k-2})\); 4) für \(k\ge 3\), \(2 \le \mu\le 2k\) ist \[T(\mu)= O\left(p^{\mu-\tfrac{\mu-2}{k-1}}\right); \] 5) für \(k\ge 3\), \(2\le s \le 2k\) ist \[N(s,p,n)=p^{s-1} + O\left(p^{s-1-\tfrac{s-2}{k-1}}\right);\] 6) falls \(n_1=[\frac 12k]\), \(6\le k\le 11\) ist, ist \(T(4n_1)=O(p^{4n_1-2})\); 7) falls \(s\ge 3\), \(6 \le k \le 11\) ist, gilt \[ N(s,p,n)=\begin{cases} p^{s-1}+O\left(p^{s-1-\tfrac{s-1}{2n_1-1}}\right) &\text{für }s\le 4n_1, \\ p^{s-1}+O\left(p^{s-3-\tfrac{s-4n_1}m}\right) &\text{für } s> 4n_1; \end{cases} \] 8) falls \(n_r=\left[\dfrac k{2^r}\right]=3, 4\text{ oder }5\) und \(k>11\), \(s \ge 3\) ist, so ist \[ T(2^{r+1}n_r)=O\left(p^{2^{r+1}n_r-2}\right); \] 9) aus 8) folgt: \[ N(s,p,n)=\begin{cases} p^{s-1}+O\left(p^{s-1-\tfrac{s-2}{2^rn_r-1}}\right) &\text{für }s\le 2^{r+1}n_r, \\ p^{s-1}+O\left(p^{s-3-\tfrac{s-2^{r+1}n_r}m}\right) &\text{für } s > 2^{r+1}n_r. \end{cases} \] \bigskip Further reviews: Zbl 0024.14703.