Sur une estimation des sommes de Weyl. (Q2586222)

\textit{Van der Corput} hat eine Abschätzung für Weylsche Summen gegeben (Proc. Akad. Wet., Amsterdam, 42 (1939), 461-467, F. d. M. 65, 170 (JFM 65.0170.*)). Hier werden die darin auftretenden Konstanten explizite bestimmt; das Endergebnis lautet: Es sei \(P\), \(Q\), \(n\) ganz, \(P \geqq 3\), \(n > 1\), \(0 < \varepsilon<\frac 12\); \(l\) sei die kleinste ganze Zahl mit \(l\varepsilon > 1\); \(\alpha\), \(\alpha_1\), \dots, \(\alpha_n\) reell; \(\varLambda \geqq 1\); \(\left|\alpha-\dfrac aq\right|\leqq \dfrac \varLambda{q^2}\), \(q>0\), \((a,q)=1\); \(\mu=(n-1)\log P +(n-1)^l-1\), \(\sigma=l^{-1}((n-1)^l-1)\), \(\exp z=e^z\). Dann ist \[ \begin{aligned} \Bigl|&\sum_{x=Q+1}^{Q+P}\exp(2\pi i(\alpha x^n+\alpha_1 x^{n-1}+ \cdots + \alpha_n))\Bigr|^{2^{n-1}} \tag{1} \\ <&11(l-1)(4P)^{2^{n-1}}\mu^\sigma\left(\varLambda+\frac qP\right)^{1-\varepsilon}\left(\frac 1q+\frac 1{P^{n-1}}\right)^{1-\varepsilon}. \end{aligned} \] Für \(n\geqq 3\) kann man noch \(11(l-1)\) durch 8 ersetzen. Der Beweis benutzt außer einer geläufigen Abschätzung der linken Seite von (1) (vgl. z. B. \textit{Landau}, Vorlesungen über Zahlentheorie (1927; F. d. M. 53, 123), Satz 265) eine Abschätzung von \textit{Mardjanichvili} (C. R. Acad. Sci. URSS (2) 22 (1939), 387-389, F. d. M. 65, 139 (JFM 65.0139.*)), welche sich auf die Summe \(\sum\limits_{h=1}^x \tau_k^l(h)\) bezieht, wo \(\tau_k(h)\) die Anzahl aller Systeme natürlicher Zahlen \(x_1\), \dots, \(x_k\) mit \(x_1 \cdots x_k=h\) ist.