On upper limit relations for number theoretical functions. (Q2586234)

Im folgenden bedeutet \(p_k\) die \(k\)-te Primzahl, \(v\) eine natürliche Zahl, \(r_n=p_1p_2 \ldots p_n\). Es ist eine Reihe von Formeln der Gestalt \[ \limsup_{x\to\infty} f(x)g(x)=1 \tag{1} \] bekannt, wo \(g(x)\) eine elementare Funktion ist, während \(f\) eine multiplikative (d. h. \(f(ab)=f(a)f(b)\) für \((a,b)=1\)) oder additive (d. h. \(f(ab)= f(a)+f(b)\) für \((a,b) = 1\)) zahlentheoretische Funktion bedeutet. Die Arbeit enthält drei allgemeine Sätze, aus welchen einige bekannte Spezialfälle von (1) folgen. \textit{Satz I und II}. Es sei entweder \(f\) multiplikativ und \(f(p_k) \to 1\) oder \(f\) additiv und \(f(p_k)>0\). Weiter sei \(f(p_k^v)=f(p_k)\), \(f(p_{k-1})\geqq f(p_k)\); \(g\) sei nicht wachsend, \(f(r_n)g(r_n)\to 1\); dann gilt (1). \textit{Satz III}. Es sei \(f\) additiv, \(f(p_k) \to 1\) und für ein \(\varepsilon<1\) sei \(f(p_k^v)\leqq v^\varepsilon\) (\(k=1\), 2, \dots; \(v=2\), 3, \dots). Dann gilt (1) mit \(g(x)=\log \log x \cdot (\log x)^{-1}\). Zu jedem Satz wird ein (bekanntes) Beispiel gegeben. Druckfehler: Auf S. 783, Z. 5 rechts lies \(x^{1-\alpha}/(1-\alpha)\log x\).