On the almost periodic behaviour of multiplicative number-theoretical functions. (Q2586236)

Eine zahlentheoretische Funktion \(f(n)\) (definiert für die natürlichen Zahlen \(n\)) heißt multiplikativ, falls \(f(n_1n_2)=f(n_1)f(n_2)\) ist für \((n_1,n_2)=1\). Zu gegebenem \(f(n)\) sei die Funktion \(f_*(n)\) für jede Primzahlpotenz \(p^k\) durch \[ f_*(p^k)=\frac{f(p^k)-f(p^{k-1})}{p^k} \] und für jede aus verschiedenen Primzahlpotenzen zusammengesetzte Zahl \(n\) durch die Bedingung der Multiplikativität definiert. Die Verf. beweisen: (1) Für eine reelle nicht-negative multiplikative Funktion \(f(n)\) sei \[ \sum_{n=1}^\infty |f_*^\lambda(n)|<\infty. \] Dann ist \(f(n)\) fastperiodisch \((B^\lambda)\) (im Sinne von Besicovitch). 2) Falls \(\lambda=1\) ist, wird die Fourierreihe von \(f(n)\) durch \[ f(n)\sim \sum_{m=1}^\infty a_mc_m(n) \] gegeben, wo \[ a_m= \sum_{l=1}^\infty f_*(ml) \] und \(c_m(n)\) die Summe von Ramanujan ist. Die Verf. betrachten noch die speziellen Funktionen \[ \frac{\sigma_\alpha(n)}{n^\alpha}, \quad \frac{\varphi(n)}n, \quad \frac n{\varphi(n)}, \] (\(\sigma_\alpha(n)\) ist für \(\alpha>0\) die Summe der \(\alpha\)-ten Potenzen der positiven Teiler von \(n\), und \(\varphi(n)\) ist die Eulersche Funktion), von denen bewiesen wird, daß sie für jedes \(\lambda \geqq 1\) fastperiodisch \((B^\lambda)\) sind, und es werden ihre Fourierreihen angegeben.