Zur Kettenbruchtheorie im Dreidimensionalen (Z 1). (Q2586252)

Im \(R_3\) wird eine Punktmenge \(M\) studiert, die den folgenden axiomatischen Forderungen genügt: 1) Jeder Punkt von \(M\) liegt im Oktanten \(x_1>0\), \(x_2 > 0\), \(x_3> 0\). 2) \(M\) hat keine Häufungspunkte. 3) Auf jeder zu einer Koordinatenebene parallelen Ebene liegt höchstens ein Punkt von \(M\). 4) In jedem zur \(x_1\)-Achse parallelen Balken \(0 < x_2 < a_2\), \(0 < x_3 < a_3\) liegt wenigstens ein Punkt von \(M\). Entsprechend für die \(x_2\)- und \(x_3\)-Achse. Z. B. bilden die im Oktanten liegenden Punkte eines Gitters, das nicht durch Rationalitätsforderungen spezialisiert ist, eine solche Menge \(M\). Ein Quader \(0<x_i< a_i\) heißt extrem, wenn auf jeder Seitenfläche \(x_i=a_i\) wenigstens ein Punkt von \(M\) liegt, aber keiner im Innern. Am wichtigsten sind die Quader dritter Art, das sind solche extreme, bei denen kein Punkt von \(M\) auf einer Kante liegt. Wenn man einen Quader dritter Art in der \(x_i\)-Richtung soweit verkürzt, bis er sich in der \(x_k\)-Richtung verlängern läßt, gelangt man zu einem ganz bestimmten benachbarten Quader dritter Art. Dann wird der von Minkowski für den Gitterfall bewiesene Satz allgemein bewiesen, daß man zwischen zwei Quader dritter Art immer eine Kette benachbarter einschalten kann. Im übrigen befaßt sich die Arbeit mit dem nicht in den Koordinatenebenen liegenden Teil \(B(V)\) der Berandung der Vereinigungsmenge aller Quader dritter Art. Z. B. wird bewiesen, daß \(B(V)\) ein topologisches Bild der Fläche \(x_1x_2x_3=1\), \(x_i>0\) ist, wobei die Zuordnung so geschieht, daß die Verbindungsgerade von zwei zugeordneten Punkten durch den Nullpunkt geht.