Über lückenlose Ausfüllung des \(n\)-dimensionalen Raumes durch kongruente Würfel. I, II. (Q2586255)

I. Verf. gibt zunächst einen Beweis des Satzes, daß unter den Koordinatendifferenzen je zweier Würfel sich mindestens eine ganze, von Null verschiedene Zahl findet. Dann bildet er den äußerst fruchtbaren Begriff des ``Konglomerats'', einer solchen Menge von \(2^n\) Würfeln, daß es zu jeder der \(2^n\) Zusammenstellungen \((k_1 \ldots k_n)\) von Zahlen 0 oder 1 einen Würfel mit Koordinaten \(k_\nu + \varphi_{k_1\ldots k_n}^{(\nu)}\) (\(\nu=1\), \dots, \(n\)) gibt, wo \(0\leqq \varphi_{k_1\ldots k_n}^{(\nu)} <1\) ist, und daß sich außerdem unter den Koordinatendifferenzen je zweier Würfel stets eine ganze von Null verschiedene Zahl findet. Je \(2^n\) entsprechend gelagerte Würfel einer lückenlosen Raumerfüllung bilden ein Konglomerat. Jedes Konglomerat läßt sich zu einer lückenlosen Raumerfüllung erweitern. -- II. \textit{O. H. Keller} ( J. reine angew. Math. 163 (1930), 231-248; JFM 56.1120.*) hat, allerdings ohne Begründung, die Vermutung ausgesprochen, in jeder Raumerfüllung gebe es ``Balken'', unendliche Würfelmengen, von denen je zwei aufeinanderfolgende eine ganze Seitenfläche gemein haben. Verf. vermutet, daß es in jedem Konglomerat ein ``Zwillingspaar'' gebe, ein Paar von Würfeln, das eine ganze Seitenfläche gemein hat. Verf. zeigt die Gleichwertigkeit beider Vermutungen. Weiter gibt er eine Arithmetisierung des Problems, mit deren Hilfe er die Vermutungen für \(n=2\) und \(n=3\) beweist.