Approximation to real irrationals by certain classes of rational fractions. (Q2586268)

Verf. unterscheidet drei Klassen irreduzibler Brüche \(\dfrac pq\): \noindent 1. \(p\) ungerade, \(q\) ungerade, 2. \(p\) gerade, \(q\) ungerade, 3. \(p\) ungerade, \(q\) gerade. Dann beweist er: Für eine Irrationalzahl \(\omega\) gibt es in jeder der drei Klassen unendlich viele Brüche, für die \[ \left|\omega-\frac pq\right| < \frac 1{q^2} \] ist. Wenn dagegen \(k<1\), so gibt es für jede der drei Klassen irrationale Zahlen \(\omega\), für welche die Ungleichung \[ \left|\omega-\frac pq\right| < \frac k{q^2} \] nur durch endlich viele Brüche der betreffenden Klasse befriedigt wird. Für die erste Klasse ist z. B. \(\omega=n+\sqrt{n^2+1}\) eine solche Zahl, wenn \(n\) ganz und \(n>k\sqrt{n^2+1}\) ist. Verf. benutzt keine Kettenbrüche, sondern eine Kreisfigur, ähnlich der von Züllig (Zürich 1928; F. d. M. 54, 210 (JFM 54.0210.*)) zur Interpretation der gewöhnlichen Kettenbrüche benutzten.