Sur la divisibilité de la différence des puissances de deux nombres entiers par une puissance d'un idéal premier. (Q2586271)

In dieser Arbeit werden Sätze über schlechte Approximierbarkeit algebraischer Zahlen durch andere algebraische Zahlen bewiesen, und zwar handelt es sich einerseits um Approximation im gewöhnlichen Sinn, d. h. wobei die Zahlen nach ihrem absoluten Betrag bewertet sind, anderseits auch um analoge Sätze mit \(p\)-adischer Bewertung. Als ein Satz der ersten Sorte ergibt sich: Sei \(\alpha\), \(\beta\) ein Paar algebraischer Zahlen, aber nicht von der Form \(\alpha=e^{i\varphi}\), \(\beta=e^{i\varphi}\), wo zwischen \(\varphi\), \(\psi\), \(\pi\) keine lineare homogene Relation mit ganzen rationalen Koeffizienten besteht. Sind dann \(x\), \(y\) ganze rationale Zahlen, und setzt man \[ \text{Max}\,(|x\log|\alpha||, \;|y\log|\beta||)=q, \quad \text{Max}\,(|x|,|y|)=q_1, \] so ist für jedes positive \(\varepsilon\) \[ |\alpha^x\pm \beta^y|>e^{q-\log^{3+\varepsilon}q_1}, \] falls die linke Seite nicht verschwindet und \(q_1\) oberhalb einer von \(\varepsilon\) abhängigen Schranke liegt. Der Hauptsatz der zweiten Sorte ist folgender: Sei \(\mathfrak p\) ein Primideal eines algebraischen Körpers und seien \(\alpha\), \(\beta\) zwei Zahlen dieses Körpers, deren Zähler und Nenner zu \(\mathfrak p\) prim sind; außerdem sei \(\alpha^n \neq \beta ^m\) für jedes Paar ganzer rationaler Zahlen \(n\), \(m\) mit \(nm\neq 0\). Sind dann \(x\), \(y\) ganze rationale Zahlen und setzt man \[ \text{Max}\,(|x|,|y|)=q, \] so ist für jedes positive \(\varepsilon\) die Kongruenz \[ \alpha^x \pm \beta^y \equiv 0 \quad (\mathfrak p^{\log^{3+\varepsilon}q}) \] unmöglich, wenn \(q\) oberhalb einer von \(\varepsilon\) abhängigen Schranke liegt. Durch Verbindung dieser Resultate wird dann noch der folgende merkwürdige Satz gewonnen: Seien \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) reelle algebraische Zahlen, von denen keine gleich 0 oder \(\pm 1\) und wenigstens eine keine algebraische Einheit ist. Dann hat die Gleichung \(\alpha^x+\beta^y=\gamma^z\) höchstens eine endliche Anzahl von ganzen rationalen Lösungen \(x\), \(y\), \(z\), außer wenn \[ \alpha=\pm 2^{n_1}, \quad \beta = \pm 2^{n_2}, \quad \gamma=\pm 2^{n_3}, \] wo \(n_1\), \(n_2\), \(n_3\) rationale Zahlen sind. -Weiterhin noch ein Satz von ähnlicher Art wie dieser letzte.