On a geometrical representation of \(p\)-adic numbers. (Q2586277)

Im folgenden ist \(P\) eine fest gegebene Primzahl, \(F\) der Fundamentalbereich der Modulgruppe: \[ |z|> 1, \quad -\tfrac 12\leqq \Re z < \tfrac 12 \quad \text{oder} \quad |z|=1, \quad -\tfrac 12 \leqq \Re z \leqq 0; \] \(\lambda\) sei eine beliebig (aber fest) gegebene Zahl aus \(F\). Ist nun \(\zeta\) eine ganze \(P\)-adische Zahl, so definiere man fünf Folgen \[ \{A_n\}, \;\{Z_n\}, \;\{z_n\}, \;\{T_n\}, \;\{\varOmega_{n+1}\} \quad (n = 0, 1, 2,\ldots) \] wie folgt: \(A_n\) ganz rational, \(Z_n\) und \(z_n=x_n+iy_n\) komplex, \[ |\zeta-A_n|_P\leqq P^{-n}, \quad 0\leqq A_n \leqq P^n-1, \quad \text{also} \quad \zeta= \lim A_n, \tag{1} \] \(Z_n=(A_n +\lambda)P^{-n}\); \(z_n\) sei der zu \(Z_n\) äquivalente Punkt in \(F\) (also \(y_n \geqq \frac 12\sqrt 3\)), so daß es eine Modulsubstitution \[ V_n=\begin{pmatrix} r_n & r_n' \\ q_n & q_n'\end{pmatrix} \quad \text{mit} \quad Z_n = V_nz_n = \frac{r_nz_n+r_n'}{q_nz_n+q_n'} \] gibt; man setze \(p_n=P^nr_n-A_nq_n\), \(p_n'=P^nr_n'-A_nq_n'\), so daß (vgl. (1)) \[ |p_n+q_n\zeta|_P\leqq P^{-n}, \quad |p_n'+q_n'\zeta|_P\leqq P^{-n}. \tag{2} \] Dann ist \(T_n= \begin{pmatrix} p_n & p_n' \\ q_n & q_n'\end{pmatrix}\) eine ganzzahlige Matrix mit der Determinante \(P^n\) und \(\varOmega_{n+1}=T_n^{-1}T_{n+1}\) eine ganzzahlige Matrix mit der Determinante \(P\); es ist \(\lambda=T_nz_n\), \(z_n=\varOmega_{n+1}z_{n+1}\). Im ersten Teil der Arbeit werden hauptsächlich die Folgen \(\{z_n\}\), \(\{\varOmega_{n+1}\}\) untersucht; im zweiten Teil werden die Ergebnisse des ersten Teiles auf folgendes diophantische Problem angewandt: Es sei \[ \varPhi(X,Y)=\frac 2{|\lambda-\bar \lambda|}(X-\lambda Y)(X-\bar \lambda Y), \] also \[ \varPhi_n(X,Y)=\varPhi(p_nX+p_n'Y, \;q_nX+q_n'Y) = \frac{P^n}{y_n}(X-z_nY)(X-\bar z_nY); \tag{3} \] da \(\lambda\) und \(z_n\) in \(F\) liegen, sind \(\varPhi\) und \(\varPhi_n\) reduzierte positiv definite quadratische Formen (z. B. \(\varPhi(X,Y)=Z^2+Y^2\) für \(\lambda=i\)). Es handelt sich darum, ganze rationale \(p\), \(q\) mit \(|p+q\zeta|_P\leqq P^{-n}\) und mit möglichst kleinem Wert von \(\varPhi(p,q)>0\) bei vorgegebenem \(n\) zu finden. Aus (2), (3) und aus \(y_n \geqq \frac 12 \sqrt 3\) folgt \[ |p_n+q_n\zeta|_P \leqq P^{-n}, \quad 0<\varPhi(p_n,q_n)= \frac{P^n}{y_n} \leqq \frac 2{\sqrt 3}P^n. \tag{4} \] Weiter wird gezeigt (\(p\), \(q\) bedeuten stets ganze rationale Zahlen): aus \(|p+q\zeta|_P\leqq P^{-n}\), \(\varPhi(p,q)>0\) folgt \(\varPhi(p,q)\geqq \varPhi(p_n,q_n)\), so daß die \(p_n\), \(q_n\) die ``besten'' Annäherungen liefern. Daraus und aus (4) folgt die Wichtigkeit der \(y_n\) für das genannte Problem. Aus den Resultaten des ersten Teiles ergeben sich folgende Ergänzungen zu (4) (die wir wegen Raumersparnis teilweise nur in ihren Hauptzügen wiedergeben): I. (Analogon eines Satzes von Hurwitz und Borel über Kettenbrüche.) Ist \(P = 2\) (bzw. 3 bzw. 5) und \(\zeta\) irrational, so gibt es unter je drei (bzw. drei bzw. zwei) konsekutiven natürlichen Zahlen \(n\) mindestens eine, für welche gilt \[ |p_n+q_n\zeta|_P \leqq P^{-n}, \quad 0<\varPhi(p_n,q_n) \leqq \gamma P^n, \] wo \(\gamma=\dfrac 2{\sqrt 7}\) bzw. \(\gamma=\dfrac 1{\sqrt 2}\) bzw. \(\gamma=1\). Ist aber \(\beta < \gamma\), so gibt es ein irrationales \(\zeta\), für welches die Ungleichungen \[ |p+ q\zeta|_P \leqq P^{-n}, \quad 0< \varPhi(p,q)<\beta P^n \] für alle großen \(n\) unlösbar sind; dasselbe gilt, wenn \(P\equiv 1\) (mod 6) und \(\beta< \dfrac 2{\sqrt 3}\) ist (vgl. dazu (4)). II. (Analogon eines Satzes von Khintchine.) Ist \(\zeta\) irrational, so gibt es unendlichviele \(n\), für welche die Ungleichungen \[ |p+ q\zeta|_P \leqq P^{-n}, \quad 0<\varPhi(p,q)< P^{-\frac 12} P^n \] unlösbar sind, und \(P^{-\frac 12}\) ist die scharfe Konstante. III. (Analogon eines Satzes von Tschebyscheff.) Ist \(\vartheta\) eine beliebige, \(\zeta\) eine irrationale ganze \(P\)-adische Zahl, so gibt es unendliche natürliche \(n\) und zugehörige ganze rationale Zahlen \(u_n\), \(v_n\), so daß \[ |u_n+v_n\zeta+\vartheta|_P\leqq P^{-n}, \quad \varPhi(u_n,v_n) \leqq \frac{P+1}{4\sqrt P}P^n \] (dabei ist aber \(\dfrac{P+1}{4\sqrt P}\) nach der Meinung des Verf. kaum die wahre Konstante). Eine Ergänzung zur vorliegenden Arbeit siehe bei \textit{H. Davenport} (vgl. die nachstehend besprochene Arbeit); einen anderen kettenbruchähnlichen Algorithmus für \(P\)-adische Zahlen hat Verf. bereits früher (Nieuw Arch. Wiskunde (2) 18 (1934), 22-34; Mathematica B, Zutphen, 7 (1938), 2-6; JFM 60.0163.*; 64\(_{\text{I}}\), 144) eingeführt.