The approximate local monotony of measurable functions. (Q2586365)

Eine reelle endliche, meßbare Funktion \(f(x)\) der reellen Veränderlichen \(x\) besitzt im Punkte \(x_0\) ihres Definitionsbereiches \(\vartheta\) ein starkes Maximum (s. M.), wenn \(x_0\) isolierter Punkt von \(E_x [f(x) \geqq f(x_0);\;x\in\vartheta]\) ist; es gibt nur abzahlbar viele s. M. Ersetzt man in vorstehender Definition ``isolierter Punkt'' durch ``Dispersionspunkt'', so gelangt man zum Begriff des \textit{approximativen} s. M. (kurz a. s. M.). Es wird gezeigt, daß die a. s. M. von \(f(x)\) eine (nicht notwendig abzählbare) Nullmenge bilden. Und zwar wird dies als Folgerung dem nachstehenden Satze entnommen: Es sei \(\mathfrak M(x)=E_t[f(t)>f(x);\;t\in\vartheta]\), \(\mathfrak N(x)=E_t[f(t)<f(x);\;t\in\vartheta]\). Dann gilt für fast alle \(x\in \vartheta\): Es besitzen \(\mathfrak M(x)\) und \(\mathfrak N(x)\) in \(x\) einseitige untere Dichte Null; und zwar \(\mathfrak M(x)\) auf der entgegengesetzten Seite von \(x\) wie \(\mathfrak N(x)\). Dieser Satz ergibt sich aus der Feststellung: Für fast keine \(x\) besitzt \(\mathfrak M(x)\) positive untere einseitige Dichte in \(x\) auf beiden Seiten von \(x\); fast nirgends besitzen \(\mathfrak M(x)\) und \(\mathfrak N(x)\) beide positive untere einseitige Dichte auf der nämlichen Seite von \(x\). Der Beweis dieser Feststellung wird in der Arbeit gegeben.