Sur les fonctions-vecteurs complètement additives. (Q2586383)

Betrachtet werden Funktionen \(\varphi(E)\), deren Definitionsbereich \(S\) ein Borelsches System abstrakter Mengen \(E\) ist, während der Wertebereich \(W\) ein System von Vektoren im euklidischen \(R_n\) ist. Es heiße \(\varphi(E)\) volladditiv, wenn für jede Folge paarweise fremder \(E_\nu\in S\) die Reihe \(\sum\limits_\nu |\varphi(E_\nu)|\) konvergiert und \(\varphi\left(\sum\limits_\nu E_\nu\right)= \sum\limits_\nu \varphi(E_\nu)\) ist. Man sage, es erleidet \(\varphi(E)\) auf \(E'\) einen Sprung, wenn \(\varphi(E'') = 0\) oder \(\varphi(E'')= \varphi(E')\neq 0\) für beliebige \(E''\subset E'\) mit \(E''\in S\) gilt; ferner heiße \(\varphi(E)\) identisch Null auf \(E'\), in Zeichen \(\varphi(E')\equiv 0\), wenn \(\varphi(E'E'') = 0\) für jede \(E''\in S\). Die Vereinigung aller \(E_2\in S\) mit \(\varphi(E_1-E_2)\equiv\varphi(E_2-E_1)\equiv 0\) heiße metrischer Typus von \(E_1\) bezüglich \(\varphi(E)\) und werde mit \(E_1^*\) bezeichnet. Betrachtet wird die Funktion \(\varphi(E^*) =\varphi(E)\). Sätze: 1) Der Wertebereich \(W\) einer volladditiven Funktion \(\varphi(E)\) ist abgeschlossen. 2) Ist \(\varphi(E)\) volladditiv und sprungfrei, so ist \(W\) konvex; bezeichnet ferner \(a\) einen in \(W\) enthaltenen festen Vektor, so gilt für die Menge \(L(a)\) der Lösungen \(E^*\) von \(\varphi(E^*)=a\): Entweder hat \(L(a)\) Kontinuumsmächtigkeit (nämlich genau dann, wenn \(a\) echter Teil eines in \(W\) enthaltenen Vektors ist) oder \(L(a)\) enthält genau eine Lösung. (Nach dem französischen Auszug, der keine Beweise enthält.)