Sur certaines classes de transformations continues. (Q2586410)

Es sei \(\{\mathfrak F_\nu(Q)\}\) eine Folge von Jordanflächen im euklidischen, \(n\)-dimensionalen Raume \(E_n\) (d. h. eine Folge topologischer Bilder der Begrenzung der \(n\)-dimensionalen Vollkugel); im Innern einer jeden \(\mathfrak F_\nu =\mathfrak F_\nu(Q)\) sei der feste Punkt \(Q\) enthalten. Bezeichnet \(R_\nu(Q)\) bzw. \(r_\nu(Q)\) den größten bzw. kleinsten Abstand, welchen \(Q\) von den Punkten der \(\mathfrak F_\nu\) besitzt, so sei \(\lim\limits_{\nu\to\infty} R_\nu(Q) = 0\). Es werde \(k(Q)=\varliminf\limits_{\nu\to\infty}r_\nu(Q):R_\nu(Q)\) als Exzentrizität von \(\{\mathfrak F_\nu\}\) bezüglich \(Q\) bezeichnet. Nun wird folgender Satz bewiesen: \textit{Vor}. Es sei \(P'=f(P)\) eine eindeutige, stetige Abbildung des Gebietes \(\mathfrak G\subset E_n\) auf eine Menge \(\mathfrak G'\subset E_n\) mit folgenden Eigenschaften. Bis auf eine (\(n\)-dimensionale, Lebesguesche) Nullmenge existiert zu jedem Punkt \(P_0\in\mathfrak G\) erstens eine Umgebung \(\mathfrak U(P_0)\), so daß \(f(P)\) in \(\mathfrak U(P_0)\) umkehrbar eindeutig ist: zweitens in \(\mathfrak U(P_0)\) eine \(\{\mathfrak F_\nu(P_0)\}\) mit \(k(P_0) > 0\) und mit \(\varliminf\limits_{\nu\to\infty} r_{\nu+1} (P_0) : r_\nu (P_0) > 0\) derart, daß \(\{\mathfrak F_\nu(P_0)\}\) durch \(P' = f (P)\) abgebildet wird auf eine \(\{\mathfrak F_\nu'(P_0')\}\) mit \(k'(P_0') > 0\), wobei \(P_0' = f(P_0)\). \textit{Beh.}: Es ist \(f(P)\) fast überall differenzierbar (im Stolzschen Sinne). -Ist die Vor. ``zweitens'' sogar für eine \textit{Schar} von \(\mathfrak F(P_0)\) erfüllt, durch welche eine Umgebung von \(P_0\) völlig überdeckt wird; wird ferner angenommen, daß das Bild jeder Teilmenge positiven Maßes von \(\mathfrak G\) positives äußeres Maß besitzt, so ist die Funktionaldeterminante der Abbildung fast nirgends Null. Ferner existiert für fast jeden Punkt \(P_0\) eine Schar homothetischer Hyperellipsoide mit dem Zentrum \(P_0\), deren Bild die Exzentrizität 1 besitzt. Anwendung auf eine von \textit{M. Lavrentieff} (Rec. math., Moscou, 42 (1935), 407-424; C. R. Acad. Sci. URSS (2) 20 (1938), 241-242; F. d. M. \(61_{\text{II}}\), 1131; \(64_{\text I}\), 708) betrachtete Klasse von Abbildungen.