Über die Vertauschbarkeit von Grenzübergang und Differentiation. (Q2586417)

Verf. beweist: Konvergiert die Folge \(f_1(x)\), \(f_2(x),\ldots \) in \(\langle a,b\rangle \) nach \(f (x)\) und sind die \(f_n (x)\) an der Stelle \(x_0\) (\(a\leqq x_0\leqq b\)) gleichgradig differenzierbar, so existiert auch \(f'(x_0)\), und es ist \(f'(x_0)=\lim _{n\to\infty }\,f_n'(x_0)\). Gleichgradige Differenzierbarkeit der \(f_n(x)\) bedeutet, daß zu jedem \(\varepsilon > 0\) ein \(\delta > 0\) existiert, so daß für \(0 <|h| < \delta \) und alle \(n\) \[ \Biggl|\,\frac {f_n(x_0+h)-f_n(x_0)}{h}-f_n'(x_0)\,\Biggr| <\varepsilon \;\;\;\text{ist}. \] Aus diesem Satz werden einige andere hinreichende Bedingungen für \(f'(x_0)=\lim \,f_n'(x_0)\) abgeleitet. An einigen Beispielen wird die Tragweite der einzelnen Kriterien untersucht. Schließlich zeigt Verf., daß der oben angegebene Satz aus einem allgemeineren Satz über Doppelfolgen abgeleitet werden kann.