Solution du problème d'équivalence des classes de fonctions indéfiniment dérivables. (Q2586443)

Verf. führen die Beweise zu den in C. R. Acad. Sci., Paris, 208 (1939); 555-558, 716-718 (F. d. M. 65; 217,218) mitgeteilten Resultaten aus. In den dort gegebenen Bezeichnungen werden der Folge \(\{A_n\} \) die ``regularisierten'' Folgen \(\{A_n^0\} \) und \(\{A_n^f\} \) mit Hilfe der Funktionen \(S (r)\) und \(U (r)\) zugeordnet. Zunächst wird gezeigt, daß die regularisierten Folgen dieselben Funktionen \(S (r)\) und \(U (r)\) haben wie die Ausgangsfolge. Ist nun \(\{A_n'\} \) eine weitere Folge, die mit \(\{A_n\} \) verglichen werden soll, und bedeuten \(A_n^{'0}\) usf. die entsprechenden zu \(\{A_n'\} \) gehörigen Größen, so sind die Ungleichungen \[ \begin{matrix} \l&\;\l&\;\,\l&\;\l\\ A_n^0 &\leqq A_n'&\text{für alle} &n,\\ \\ A_n^0 &\leqq A_n^{'0}&\text{für alle} &n,\\ \\ S(r) &\geqq S'(r)&\text{für alle} &r \end{matrix} \] paarweise äquivalent. Das gleiche gilt für die Ungleichungen \[ \begin{matrix} \l&\;\l&\;\,\l&\;\l\\ A_n^f &\leqq A_n'&\text{für alle} &n,\\ \\ A_n^f &\leqq A_n^{'f}&\text{für alle} &n,\\ \\ U(r) &\geqq U'(r)&\text{für alle} &r. \end{matrix} \] Der Hauptsatz lautet nun: I sei ein endliches Intervall. Damit eine Klasse \(\{A_n\} _I\) in einer Klasse \(\{A_n'\} _I\) enthalten ist, ist notwendig und hinreichend: \[ \begin{aligned} &\varlimsup _{n\to\infty }\,\Bigl( \frac {A_n^0}{A_n'}\Bigr)^{\frac { 1}{ n}} < +\infty, \text{falls }I \text{ \textit{offen} ist},\\ &\varlimsup _{n\to\infty }\,\Bigl( \frac {A_n^f}{A_n'}\Bigr)^{\frac { 1}{ n}} < +\infty, \text{falls }I \text{ \textit{halboffen} oder \textit{abgeschlossen} ist}. \end{aligned} \] Daß die Bedingungen hinreichen, wird dadurch gezeigt, daß bewiesen wird, daß die Klassen \(\{A_n\} _I\) und \(\{A_n^0\} _I\) im offenen Intervall identisch sind, bzw. daß \(\{A_n\} _I\) und \(\{A_n^f\} _I\) in jedem Intervall identisch sind. Zum Nachweis dienen von \textit{H. Cartan} gegebene Abschätzungen der Ableitungen. Zum Nachweis der Notwendigkeit der Bedingungen wird angenommen, daß sie nicht erfüllt sind, und, für jeden der beiden Fälle, eine Funktion \(f (x)\) hergestellt, welche der Klasse \(\{A_n\} \) aber nicht \(\{A_n'\} \) angehört; \(f (x)\) wird durch nach Tschebycheffschen Polynomen fortschreitende Reihen definiert.