Progressioni geometriche a termini periodicamente alternati. (Q2586456)

Berechnung endlicher Summen, die aus der endlichen geometrischen Progression mit \(\gamma\alpha\) Gliedern dadurch hervorgehen, daß man die Glieder in \(\alpha\) Gruppen von je \(\nu\) Gliedern aufteilt und diesen Gruppen abwechselnd das positive und negative Vorzeichen gibt. Ferner solcher Summen, die aus diesen Summen dadurch entstehen, daß man in jeder Gruppe das \(k\)-te Glied (\(k = 1, 2,\ldots, \nu\)) mit demselben Faktor \(\beta_k= \omega_k +1\) multipliziert, also z. B. stehen läßt (\(\beta_k = 1\)) oder auch unterdrückt \((\beta_k = 0)\). Alle Ergebnisse sind in der trivialen Formel \[ \sum\limits_{\mu=1}^\alpha (-1)^{\mu-1}[\beta_1aq^{(\mu-1)\nu} + \beta_2aq^{(\mu-1)\nu+1}+\cdots+\beta_\nu aq^{(\mu-1)\nu+\nu-1}] \] \[ =a\dfrac{1-(-1)^\alpha q^{\nu\alpha}}{1+q^\nu} \bigg[\dfrac{1-q^\nu}{1-q}+\omega_1+\omega_2q+\cdots+\omega_\nu q^{\nu-1} \bigg] \] enthalten.