Verallgemeinerung iterativer Matrizen. (Q2586471)

Aus den bekannten Konvergenzbeweisen für den Gaußschen Algorithmus des arithmetisch-geometrischen Mittels und seiner Verallgemeinerungen, wie z. B. des Borchardtschen Algorithmus, im Komplexen kristallisiert Verf. einen allgemeinen Konvergenzsatz heraus. \ \(\bigl(a_i^{(k)}\bigr)\) \(i = 1,\ldots,n\), \(k = 1,\ldots,\infty \) sei eine Matrix mit unendlichvielen Spalten, in der \(a_{M(k)}^{(k)}\) das absolut größte Element der \(k\)-ten Spalte bezeichnet; es sei \[ a_{M(k)}^{(k)}= f_k\bigl(a_1^{(k-1)},\ldots,a_n^{(k-1)}\bigr),\qquad (k = 1,\ldots,\infty ) \] worin die \(f_k\) eindeutige, stetige, mittelwertartige (d. h. \(f_k(|z|,|z|,\ldots, | z |)=|z|\)), im Reellen monoton wachsende Funktionen sind, für die \(|f_k(z_1,\ldots,z_n)|\leqq f_k(|z_1|,\ldots, | z_n|)\) ist; es gebe nur endlichviele verschiedene Funktionen \(f_k\); dann gilt: \[ \lim |\,a_1^{(k)}|=\lim |\,a_2^{(k)}|=\cdots =\lim |\,a_n^{(k)}|.\tag{1} \] Um zu einer analogen Beziehung in den Argumenten zu kommen, ist folgende Bedingung hinreichend: Es bezeichne \(\psi _k\) die Öffnung des kleinsten Winkels um \(O\), der die Halbstrahlen \(Oa_i^{(k)}\) (\(i=1,\ldots,n\)) enthält; \(D_{k,k+1}\) sei die Breite des kleinsten Kreisringes um \(O\), der sämtliche Elemente \(a_i^{(k)}\) und \(a_i^{(k+1)}\) (\(i=1,\ldots,n\)) enthält. Existiert ein \(t\), so daß für \(0 < a < \psi _k <t\), \(D_{k,k+1}\geqq p(a)>0\) wird, worin \(p (a)\) nicht von \(k\) abhängt, so ist unter der Voraussetzung (1) auch \(\lim \psi _k = 0\).