Sulla contemporanea approssimazione di una funzione e della sua derivata con la formula di interpolazione di Lagrange. (Q2586517)

Es sei die Funktion \(f (x)\) im Intervall \((-1, 1)\) gegeben, und sie besitze eine Ableitung, die in diesem Intervall der Lipschitz-Bedingung von einer Ordnung \(\alpha> 0\) genügt. Ist \(L_n(x)\) dann das Lagrange-Polynom vom Grade \(\leqq n - 1\), das in den Punkten \(x_p = \cos \dfrac{2p-1}{2n}\pi\), \(p = 1,\, 2,\, 3,\,\ldots,\, n\), gleiche Werte wie die Funktion \(f (x)\) annimmt, so gelten gleichmäßig im Intervall \((-1,1)\) die Beziehungen: \[ \lim_{n\to\infty} L_n(x) = f (x),\quad \lim_{n\to\infty} L^\prime_n(x) = f' (x). \]