Sur l'interpolation trigonométrique. (Q2586526)

\(U_n (f, x)\) sei das trigonometrische Interpolationspolynom vom Grad \(n\), definiert durch \(U_n(f, x_i) = f(x_i)\), \(i = 0,\, 1,\,\ldots,\, 2n\), \(x_i = \dfrac{2\pi}{2n+1}i\), wo \(f (x)\) eine mit \(2\pi\) periodische Funktion ist. Verf. zeigt, daß für stetiges \(f (x)\) gleichmäßig in \(x\) gilt: \[ \lim_{n\to\infty} \{\tfrac12 [U_n(f, x + \lambda_n) + U_n(f, x - \lambda_n)] [U_n(f, x) - f (x)] \cos n\lambda_n\} = f (x). \] \(\lambda_n\) ist eine Folge positiver Zahlen mit \(\lambda_n = O \left(\dfrac1n\right)\). Für \(\lambda_n = \dfrac\pi{2n+1}\) hat man den Satz von Bernstein. \(F (x)\) sei das unbestimmte Integral einer summierbaren Funktion \(f (x)\) mit \(\int\limits_0^{2\pi} f (x)\, dx = 0\). Dann werden die folgenden Ergebnisse gezeigt: 1) In jedem Punkt \(x\), für den \(\int\limits_0^t | f (x +\tau) - f(x)|\,d\tau = o(t)\), \(t\to0\) gilt, besteht die Beziehung \[ \lim_{n\to\infty} \bar U^\prime_n (F, x) = f(x)\quad \text{mit}\quad 2\bar U_n (F, x) = U_n \left(F, x + \frac\pi{2n+1}\right) + U_n \left(F, x \frac\pi{2n+1}\right). \] 2) Damit \(f(x)\) zur Klasse \(L^p\) gehört (\(p>1\)), ist notwendig und hinreichend, daß die Ungleichung \(\int\limits_0^{2\pi} |U_n^\prime(F, x)|^p\, dx < C\) für eine Konstante \(C\) erfüllt ist.