Sur l'allure asymptotique du reste dans l'approximation au moyen des sommes de Fejér des fonctions vérifiant la condition de Lipschitz. (Q2586528)

Es sei \(H^{(\alpha)}\) die Klasse der mit \(2\pi\) periodischen Funktionen \(f(x)\), welche der Lipschitz-Bedingung \(|f (x') - f (x'')| \leqq K|x' - x''|^\alpha\) genügen. 1) Verf. gibt für die Funktionen \(f (x)\) aus \(H^{(\alpha)}\) eine Abschätzung der Differenz \(| f (x) - \sigma_n(f, x) |\), wo \(\sigma_n(f, x)\) das \(n\)-te Fejérsche Mittel der Fourierreihe von \(f (x)\) bedeutet. Bezeichnet \(C_n^{(\alpha)}\) die obere Grenze dieser Differenz für alle \(f (x)\) aus \(H^{(\alpha)}\) und alle \(x\), so gilt für \(0 < \alpha < 1\) \[ C_n^{(\alpha)} =KC^{(\alpha)} n^{-\alpha} +o(n^{-\alpha})\quad\text{mit}\quad C^{(\alpha)}=\frac{2\varGamma(\alpha)}{\pi(1-\alpha)}\sin\frac{\alpha\pi}2 \] und für \(\alpha = 1\) \[ C^{(1)}_n=\frac{2K}\pi \cdot \frac{\log n}n +O(n^{-1}). \] 2) Ebenso wird für die Funktionen \(f (x)\) aus \(H^{(\alpha)}\) eine Abschätzung der Differenz \(| f (x) - \tilde\sigma_n(f,x)|\) gegeben, wo \(\tilde\sigma_n(f, x)\) das trigonometrische Interpolationspolynom \[ \begin{gathered} \tilde\sigma(f,x)=\frac1{(2n+1)(n+1)} \sum_{i=0}^{2n} f(x_i^{(n)}) \left(\frac{\sin\dfrac{n+1}2(x-x_i^{(n)})}{\sin\dfrac12(x-x_i^{(n)})}\right)^2 \\ \text{mit}\quad x_i^{(n)} = \frac{2\pi i}{2n+1}\quad (i = 0, 1,\, 2,\,\ldots,\, 2n) \end{gathered} \] (vgl. \textit{J. Marcinkiewicz}, Studia Math., Lwów, 6 (1936), 1-17; F. d. M. \(62_{\text{II}}\), 1192) bedeutet. Bezeichnet \(\widetilde C_n^{(\alpha)}\) die obere Grenze dieser Differenz für alle \(f (x)\) aus \(H^{(\alpha)}\) und alle \(x\), so gilt für \(0 < \alpha < 1\) \[ \widetilde C_n^{(\alpha)} =K\widetilde C^{(\alpha)} n^{-\alpha} +o(n^{-\alpha}) \quad\text{mit}\quad \widetilde C^{(\alpha)} =2^{3-\alpha} \mathop{\text{Max}}\limits_u \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^2\dfrac{u-2\pi k}4}{|u-2\pi k|^{2-\alpha}} \] und für \(\alpha = 1\) wieder \[ \widetilde C_n^{(1)}= \frac{2K}\pi \frac{\log n}n +O(n^{-1}). \] (Referat nach dem französischen Auszug.)