Über Orthogonalsysteme. (Q2586553)

In Fortführung seiner Arbeit in Math. Z. 34 (1932), 477-480 (F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 269) beweist Verf.: Für \(a < x < b\) sei \(\varphi_1(x),\, \varphi_2(x),\, \varphi_3(x),\,\ldots\) ein aus stückweise stetigen Funktionen bestehendes normiertes Orthogonalsystem; es gelten für von \(n\) und \(x\) unabhängiges \(m\) und \(M\) die Ungleichungen \(0 < m < \varphi_n (x) < M\). Dann gibt es eine solche Indexfolge \(n_1,\, n_2,\, n_3,\, \ldots,\, n_k,\,\ldots\), daß zu jeder Nullfolge \(\alpha_1,\, \alpha_2,\, \alpha_3,\,\ldots\) eine im Lebesgueschen Sinn integrierbare Funktion \(f (x)\) existiert, für welche \(\int\limits_a^b f(x)\varphi_{n_k}(x)\,dx= \alpha_k\) ist. Der Satz wird unter Zuhilfenahme einiger Abschätzungen aus einem ähnlichen Satz von \textit{Banach} (Studia math., Lwów, 2 (1930); 207-220, 251-252; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 941) gefolgert. Sodann gibt Verf. Beispiele solcher normierten, gleichmäßig beschränkten Orthogonalsysteme, bei denen der charakteristische Exponent der Teilsysteme das Intervall \(0 < p < \infty\) durchläuft.