Sur la divergence des séries orthogonales. (Q2586556)

Es sei \(F\) die Menge aller im Intervall \(\langle0,1\rangle\) orthogonalen und normierten Funktionenfolgen \(\{\varphi_i(t)\}\). Definiert man den Abstand zweier Elemente \(\{\varphi_i(t)\}\) und \(\{\psi_i(t)\}\) von \(F\) durch \[ \bigl(\{ \varphi_i(t)\}, \{\psi_i(t)\}\bigr) = \sum_{i=1}^\infty\frac1{2^i} \frac{\|\varphi_i(t)-\psi_i(t)\|}{1+\|\varphi_i(t)-\psi_i(t)\|}\quad \text{mit}\quad \|\varphi(t)\| = \left(\int\limits_0^1 \varphi^2(t)\,dt\right)^{\frac12}, \] so stellt \(F\) einen vollständigen und separablen metrischen Raum dar. Verf. beweist die drei folgenden Sätze: 1) Die Menge der vollständigen Folgen \(\{\varphi_i(t)\} \in F\) ist eine \(G_\delta\)-Menge, die in \(F\) überall von der 2. Kategorie ist. 2) Ist \(\{c_i\}\) eine gegebene Zahlenfolge mit \(\sum\limits_{i=1}^\infty c_i^2 < \infty\), so sind nur die beiden folgenden Fälle möglich: (a) Die Reihe \(\sum\limits_{i=1}^\infty c_i\varphi_i(t)\) ist für jede Folge \(\{\varphi_i(t)\} \in F\) fast überall konvergent. (b) Die Menge derjenigen Folgen \(\{\varphi_i(t)\} \in F\), für die fast überall \(\varlimsup\limits_{n\to\infty} \left|\sum\limits_{i=1}^n c_i\varphi_i(t)\right| = + \infty\) gilt, ist eine \(G_\delta\)-Menge, die in \(F\) überall von der 2. Kategorie ist. 3) Ist \(E\) eine halbkompakte Menge aus (\(L^2\)), so ist die Menge derjenigen Folgen \(\{\varphi_i(t)\} \in F\), mit denen für jede von Null verschiedene Funktion \(f (t) \in E\) fast überall \[ \varlimsup_{n\to\infty} \left|\sum_{i=1}^n\varphi_i(t) \int\limits_0^1 f(t)\varphi_i(t)\,dt\right| = +\infty \] gilt, eine \(G_\delta\)-Menge, die in \(F\) überall von der 2. Kategorie ist. (Beispiele halbkompakter Mengen aus (\(L^2\)) sind die Menge der mit stetiger Ableitung versehenen Funktionen, die Menge der einer Lipschitz-Bedingung genügenden Funktionen, die Menge der schwankungsbeschränkten Funktionen.) Aus den Sätzen 1) und 3) folgt, daß in \(F\) vollständige Folgen existieren, die für jede schwankungsbeschränkte Funktion eine Entwicklung liefern, die fast überall divergiert in der Weise, daß die Folge der Teilsummen fast überall nicht beschränkt ist.