Uniformly minimal systems of functions. (Q2586560)

\(\{\varphi_i(x)\}\) sei ein System linear unabhängiger quadratisch integrierbarer Funktionen. Alle Funktionen, die im Mittel durch Linearkombinationen aus den \(\varphi_i(x)\) beliebig genau approximiert werden können, bilden den Raum \(R(\varphi)\). \(\{\varphi_i(x)\}\) heißt ein Minimalsystem, wenn durch Fortlassung nur eines \(\varphi_m(x)\) der Raum \(R(\varphi)\) kleiner wird. Nach \textit{S. Lewin} (Math. Z. 32 (1930), 491-511; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 952) ist hierfür die Existenz eines zu \(\{\varphi_i(x)\}\) adjungierten biorthogonalen Funktionensystems \(\{\psi_i(x)\}\) hinreichend und notwendig. Verf. nennt das Minimalsystem \(\{\varphi_i(x)\}\) gleichmäßig minimal, wenn die Normen \(\varphi_{ii}= \int\limits_a^b[\varphi_i(x)]^2\, dx\) der \(\varphi_i(x)\) und analog der \(\psi_i(x)\) gleichmäßig beschränkt sind. \textit{Theorem}: Damit das System \(\{\varphi_i(x)\}\) mit beschränkten Normen gleichmäßig minimal ist, ist notwendig und hinreichend, daß der kleinste Eigenwert \(\lambda_1^{(n)}\) der Matrix \(\varPhi_n = \| \varphi_{ik}\|^{(n)}\) (\(i,\, k = 1,\, 2,\,\ldots,\, n\)) oder, was dasselbe ist, der quadratischen Form \[ K_n(t,t) = \sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n \varphi_{ik} t_i t_k \] mit der Abkürzung \[ \varphi_{ik} =\int\limits_a^b \varphi_i(x) \varphi_k(x)\, dx \] für \(n \to\infty\) oberhalb einer positiven Schranke bleibt.