Some integral representations of the associated Legendre function. (Q2586596)

Ausgehend von einer Integraldarstellung der zugeordneten Kugelfunktion der ersten Art, welche die Besselfunktion \(K_n(x)\) enthält, erhält Verf. bei Anwendung einer aus der \textit{Meijer}schen Integraldarstellung der Hankelfunktion (Nieuw Arch. Wiskunde (2) 18 (1934), 35-37; JFM 60.0304.*) sich ergebenden Integralformel der \(K_n(x)\) die Beziehung: \[ \begin{multlined} \varGamma(m+n)\varGamma(m-n)\varGamma(\alpha)\cdot (z^2-1)^{\tfrac12(\tfrac12-m)}P_{n-\tfrac12}^{\tfrac12-m}(z) = 2^{\alpha} \varGamma(m+\alpha-\tfrac12)\\ \cdot \int\limits_0^{\infty} (z+\cosh t)^{\tfrac12-m-\alpha} \sinh^{2\alpha-1} \dfrac{t}{2}\cdot F\left(\dfrac12-n, \dfrac12+n; \alpha; -\sinh^2\dfrac{t}{2}\right) \cosh\dfrac{t}{2}\,dt, \end{multlined} \] die für \(\alpha=\tfrac12\) bzw. \(n +\tfrac12\) bekannte Formeln (vgl. \textit{MacRobert}, Philos. Mag., J. Sci., London, (7) 27 (1939), 703-705; F. d. M. 65, 280 (JFM 65.0280.*)) ergibt. Verf. zeigt dann, daß die obige Formel mittels partieller Integration nicht ganzer Ordnung aus der speziellen für \(\alpha=\tfrac12\) erhalten werden kann. Zum Schluß wird eine allgemeine Integralformel abgeleitet, die außer der gewöhnlichen hypergeometrischen Funktion die verallgemeinerte \(_3F_2\) enthält, und woraus die übrigen als Spezialfälle folgen.