Su qualche espressione integrale dei polinomî di Laguerre. (Q2586608)

Verf. gewinnt für das Laguerresche Polynom \[ L_n(t) = \dfrac{e^t}{n!} \dfrac{d^n}{dt^n} (e^{-t}t^n) \] aus der Cauchyschen Formel die Integraldarstellung \[ L_n(t) = \dfrac{e^t}{2\pi i} \int\limits_C e^{iz}z^n \dfrac{dz}{(z-it)^{n+1}}, \] in der der Weg \(C\) den Pol des Integranden umschließt. Sie ermöglicht den Beweis gleichmäßiger Konvergenz der Reihe \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nL_n(t)\) in jedem endlichen Gebiete der \(t\)-Ebene, wenn \(\overline{\lim\limits_{n\to\infty}} |a_n|^{\tfrac1n}<1\) ist. Sind dabei \(a_n\) die Vorzahlen der Laguerreschen Entwicklung einer auf der positiven reellen Achse stetigen Funktion \(\varphi(t)\), so wird \(\varphi(t)\) durch die ganze Funktion vom Exponentialtypus \(\varPhi(t) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nL_n(t)\) analytisch in die ganze \(t\)-Ebene fortgesetzt. -- Zum Schlusse leitet Verf. die Abschätzung \(|L_n(t)| <e^{\tfrac{t}{2}},t>0\) aus der Integraldarstellung von \(L_n(t)\) noch kürzer als in einer früheren Arbeit her (Boll. Un. mat. Ital. (2) 1 (1939), 213-217; F. d. M. 65, 283 (JFM 65.0283.*)).