Generalized orthogonal polynomials and the Christoffel-Darboux formula. (Q2586619)

Ist \(c_0,c_1,\ldots\) eine Folge von komplexen Zahlen mit der Eigenschaft \[ \varDelta_n=|c_{j-i}| \neq 0 \quad (i,j=1,\ldots,n; \;n=1,2,\ldots), \quad c_{-k}=\overline{c}_k, \] so gelten für die Polynome \[ P_0(z) =1,\quad P_n(z) =\dfrac{1}{\varDelta_n} \begin{vmatrix} c_0 & c_1 & \ldots & c_n\\ c_{-1} & c_0 & \ldots & c_{n-1}\\ \hdotsfor{4}\\ c_{-n+1} & c_{-n+2} & \ldots & c_1\\ 1 & z & \ldots &z^n \end{vmatrix} \qquad (n=1,2,\ldots) \] die Beziehungen \[ \mathfrak E\left\{ P_n(z) \overline{P}_m\left(\dfrac{1}{z}\right)\right\}= \begin{cases} 0 & \text{ für } \quad n\neq m\\ h_n=\dfrac{\varDelta_{n+1}}{\varDelta_n} & \text{ für } \quad n=m, \end{cases} \] wo \(\mathfrak E\) das durch \(\mathfrak E\{z^k\}=c_k\) \((k = 0, \pm1,\ldots)\) definierte lineare Funktional bedeutet und \(\overline{P}\) aus \(P\) durch Ersetzen der Koeffizienten durch die zu ihnen konjugierten Zahlen entsteht. Verf. beweist einige Eigenschaften dieser Polynome und insbesondere die Formel \[ K_n(x,y) = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{\overline{P_k(x)} P_k(y)}{h_k} = \dfrac{\overline{P_n^*(x)}P_n^*(y)-\overline{x}y\overline{P_n(x)}P_n(y)}{h_n(1-\overline{x}y)} \quad (n=0,1,\ldots), \] wo \(P_n^*(z) = z^n\overline{P}_n\left(\dfrac{1}{z}\right)\) gesetzt ist.