Remarks on a note of Mr. R. Wilson and on related subjects. (Q2586623)

Es seien \(p_n(x) = k_nx^n +\cdots\) \((n = 0,1, 2,\ldots)\) die bezüglich der nichtnegativen Belegungsfunktion \(w(x)\) im Intervall \(-1\leqq x \leqq+1\) orthogonalen Polynome. Dann folgt 1) aus der Existenz von \(J=\int\limits_0^{\pi}\log w(\cos\vartheta)\,d\vartheta\) im Sinne von Lebesgue (a) \(\lim\limits_{n\to\infty}\max\limits_{-1\leqq x\leqq+1} |p_n(x)|^{1/n}=1\); (b) \(\lim\limits_{n\to\infty} k_n^{1/n}=2\); (c) ``\(2^{-n}k_n=O(1)\)'' und ``\(\lim\limits_{n\to\infty} 2^{-n}k_n\) existiert'' sind äquivalente Aussagen; 2) aus dem Bestehen der Beziehung \(2^{-n}k_n=O(1)\) die Existenz des Integrals \(J\). Verf. gibt für die im wesentlichen (allerdings weniger allgemein) von \textit{Shohat} (\textit{Chokhatte}) (Rend. Circ. mat. Palermo 47 (1923), 25-46; F. d. M. 49, 329 (JFM 49.0329.*)) und \textit{R. Wilson} (Bull. Amer. math. Soc. 45 (1939), 190-192; F. d. M. 65, 250 (JFM 65.0250.*)) herrührende Satzgruppe 1 (a), (b), (c) vereinfachte Beweise und leitet Satz 2 aus einem eigenen früheren Ergebnis her.