Espressione dei numeri di Bernoulli mediante funzioni simmetriche complete. (Q2586631)

Da das Gesetz der Koeffizienten der Potenzreihe für eine reziproke Potenzreihe bekannt ist, gewinnt man leicht für die durch \[ \dfrac{x}{1-e^{-x}} = \left(\sum\limits_{\nu=0}^\infty (-1)^\nu\dfrac{x^\nu}{(\nu +1)!}\right)^{-1} = \sum\limits_{\nu=0}^\infty \dfrac{B_\nu}{\nu!}x^\nu \] erklärten Bernoullischen Zahlen einen unmittelbaren Ausdruck. Diesem entnimmt man folgendes: \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) seien die Wurzeln der Gleichung \[ x^n +\sum\limits_{i=1}^n(-1)^i\dfrac{x^{n-i}}{(i+1)!} = 0, \] \(c_n\) ihre vollständige symmetrische Funktion, d. h, die Summe aller je einmal gezählten Potenzprodukte der \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) mit der Exponentensumme \(n\); dann ist \(B_n = n!c_n\).