La derivazione d'ordine qualunque e la risoluzione dell'equazione ipergeometrica. (Q2586664)

Als \(\omega\)-te Ableitung von \(f(x)\) wird erklärt: \(D^\omega f(x) = \dfrac{1}{\varGamma(-\omega)}\int\limits_{x_0}^x f(t)(x-t)^{-\omega -1}\,dt\), wobei über den Integrationsweg sowie über \(f(x)\) jeweils geeignete Annahmen zu machen sind, und wobei natürlich das Integral existieren soll. Verf. zeigt: Die Differentialgleichung \[ D^\alpha x^{\alpha-\gamma+1}(1 - x)^{\gamma-\beta} Dx^{\gamma-\alpha}(1 - x)^{\beta -\gamma +1}D^{1-\alpha}y=0 \tag{1} \] fällt für positives ganzzahliges \(\alpha\) mit der hypergeometrischen, d. h. mit \[ x(1 - x)y'' - ((\alpha + \beta + 1)x - \gamma)y' - \alpha\beta y = 0 \] zusammen und enthält im übrigen die hypergeometrische Differentialgleichung. Aus (1) ergeben sich als Lösungen von (1): \(y_1 = D^{\alpha -1} \{x^{\alpha -\gamma}(1 x)^{\gamma -\beta -1}\}\) und \(y_2 = D^{\alpha -1}\{x^{\alpha -\gamma}(1 - x)^{\gamma -\beta -1}\}\int x^{\gamma -\alpha -1}(1-x)^{\beta -\gamma}(D^{-\alpha}0)\,dx\}\), wobei hier nur die Festsetzung \(D^{-\alpha}0 = \dfrac{1}{\varGamma(\alpha)}x^{\alpha -1}\) in Betracht gezogen wird. Aus \(y_1\) bzw. \(y_2\) gewinnt Verf. in einfacher Weise die Darstellung von Lösungen durch Euler-Jacobische Integrale sowie durch Reihenentwicklungen.