Sulle serie di potenze. (Q2586679)

Es sei \[ F(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty c_nz^n \;\text{mit} \;\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\root{n}\of{|c_n|} = 1. \] Verf. zeigt: 1) Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß \(F(z)\) auf \(|z| = 1\) nur die singuläre Stelle \(z=1\) besitzt, ist die Existenz einer Zahl \(\varepsilon' > 0\), mit der \[ \overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\left|c_n - {n-1\choose 1} \dfrac{\varepsilon}{1+\varepsilon}c_{n-1}+\cdots+(-1)^{n-1} \left(\dfrac{\varepsilon}{1+\varepsilon}\right)^{n-1}c_1 \right|^\tfrac{1}{n} = \dfrac{1}{1+\varepsilon} \] für jedes positive \(\varepsilon < \varepsilon'\) gilt. 2) Ist \(F(z)\) für ein \(k\) mit \(0 < k < 1\) außerhalb des Kreises um \(\dfrac{1}{1-k^2}\) mit Radius \(\dfrac{k}{1-k^2}\) (das Unendliche eingeschlossen) regulär, so ist \(c_n = \varphi(n)\) \((n= 1,2,\ldots)\), wobei \(\varphi(z)\) eine, im Falle \(k < 1 - \dfrac{1}{e}\) eindeutig bestimmte, ganze Funktion bedeutet, für die \[ \overline{\lim\limits_{r\to\infty}}\dfrac{\log\,M(r)}{r}\leqq \log\dfrac{1}{1-k} \] gilt. Umgekehrt: Ist \(\varphi(z)\) eine ganze Funktion, die für \(r > r'\) der Bedingung \(|\varphi(re^{i\theta})| < e^{\lambda r}\) mit einem \(\lambda < \dfrac{1}{2}\) genügt, so ist für jedes \(G\) mit \(1<G < \dfrac{1}{2\lambda}\) die Summe der Reihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty\varphi(n)z^n\) eine außerhalb des Kreises um \(\dfrac{G^2}{G^2-1}\) mit Radius \(\dfrac{G}{G^2-1}\) (das Unendliche eingeschlossen) reguläre Funktion \(F(z)\). (Verallgemeinerung des Satzes von Wigert; vgl. \textit{L. Bieberbach}, Lehrbuch der Funktionentheorie II (1931), 297; JFM 57.0340.*). Der Beweis erfordert keine anderen Hilfsmittel als der des ursprünglichen Satzes von Wigert selbst.