Sulle serie di potenze a coefficienti positivi decrescenti. (Q2586680)

In einer vorangehenden Arbeit (Boll. Un. mat. Ital. (2) 2 (1940), 455-460; vgl. das vorstehende Referat) hat Verf. eine kennzeichnende Bedingung dafür, daß \[ f(z) = \sum\limits_{\nu =0}^\infty c_\nu z^\nu \] auf dem Konvergenzkreise \(|z| = 1\) nur den singulären Punkt \(+1\) besitze, abgeleitet. Mit der Bezeichnung \[ \varDelta c_n = c_n-c_{n+1}, \;\varDelta^hc_n = \varDelta^{h-1}c_n - \varDelta^{h-1}c_{n+1} \quad (h\geqq 1) \] folgert Verf. daraus, daß, wenn \[ \overline{\lim}\root{n}\of{|c_n|}=1, \;\varDelta^rc_m >0, \quad (m=1,2,\ldots,; \;r=0,1,\ldots) \tag{1} \] ist, \(f(z)\) auf \(|z| = 1\) den einzigen singulären Punkt \(+1\) aufweist; aus (1) folgt natürlich \(c_1 > c_2 > \cdots > 0\). Diesem Kriterium gliedert sich insbesondere die Reihe \[ f(z) = \sum\limits_{\nu =1}^\infty \dfrac{z^\nu}{\nu^p} \] bei beliebigem reellen \(p\) ein.