Coefficient density and the distribution of singular points on the circle of convergence. (Q2586683)

Es handelt sich um die Beziehungen zwischen der Häufigkeit der nichtverschwindenden Koeffizienten \(c_n\) einer Potenzreihe \(f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty c_nz^n\) mit \(\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\root{n}\of{|c_n|}=1\) und der Lage und Natur ihrer Singularitäten auf dem Konvergenzkreis \(|z| = 1\). Von den zahlreichen Untersuchungen über diesen Gegenstand sind hier besonders zwei Arbeiten von \textit{G. Pólya} (Math. Z. 29 (1929), 549-640; Ann. Math., Princeton (2) 34 (1933), 731-777; JFM 55.0186.*; 59\(_{\text{I}}\), 319) zu erwähnen. Zur Beschreibung der Häufigkeit dienen die Begriffe Minimaldichte, untere Dichte, obere Dichte, Maximaldichte und Dichte. \textit{Pólya} hat bewiesen: Ist ein abgeschlossener Bogen des Konvergenzkreises vom Zentriwinkel \(\alpha\) frei von Singularitäten, so ist die Maximaldichte der nichtverschwindenden Koeffizienten größer als \(\alpha/2\pi\). Das Ziel, bei genauerer Kenntnis der Anzahl und Natur der Singularitäten auf \(|z|=1\) genauere Aussagen über die Koeffizientendichte zu gewinnen, verfolgen Untersuchungen von \textit{R. Wilson} (Proc. London math. Soc. (2) 43 (1937), 417-438; JFM 63.0254.*) und \textit{J. M. Whittaker} (J. London math. Soc. 13 (1938), 295-301; JFM 64.0272.*) und eine Arbeit dieser beiden Autoren (J. London math. Soc. 14 (1939), 202-208; F. d. M. 65, 310 (JFM 65.0310.*)), ferner die vorliegende Arbeit. Verf. nehmen zunächst an, daß auf dem Konvergenzkreis \(|z| = 1\) genau \(k\) Singularitäten liegen, von denen jede entweder isoliert oder fast isoliert oder gut zugänglich ist (zur Definition dieser Begriffe vgl. \textit{Pólya}). Dann gilt die grundlegende Darstellung \[ c_n = \sum\limits_{\nu=1}^k e^{-i\alpha_\nu n}G_\nu (n) + c_n^* \;\text{ mit } \;\overline{\lim}\root{n}\of{|c_n^*|} < 1, \] wobei \(e^{i\alpha_\nu}\) die singulären Stellen und \(G_\nu (z)\) gewisse ganze Funktionen sind. Davon ausgehend ergeben sich speziellere Sätze. Es sei z. B. \(k = 2\) und jede der beiden Singularitäten entweder polar oder wesentlich singulär. Dann ist die Dichte der verschwindenden Differenzen \(c_n c_n^*\) gleich 0, ausgenommen den Fall, daß sich \(f(z)\) in der Form \(f_1(z) + \omega f_1(\omega'z) + \sum\limits_{n=0}^\infty c_n^*z^n\) (\(\omega\) und \(\omega'\) \(q\)-te Einheitswurzeln, \(\omega' = e^{i(\alpha_1-\alpha_2)}\), \(\alpha_1 - \alpha_2 = 2s\pi/q\), \(s\) ganz, \(q\) ganz \(> 1\), \(s\) und \(q\) relativ prim; \(f_1(z)\) regulär in \(|z|\leqq 1\) mit Ausnahme der Stelle \(e^{i\alpha_1}\)) darstellen läßt, in welchem die in Rede stehende Dichte gleich \(1/q\) ist. Dieses Resultat bleibt bestehen, wenn man auch zuläßt, daß die Singularitäten fast isoliert, dann aber von endlicher Exponentialordnung sind. Weiß man nur, daß die Singularitäten fast isoliert oder gut zugänglich sind, so läßt sich eine ganz ähnliche Aussage über die untere Dichte der verschwindenden \(c_n - c_n^*\), machen. Für \(k > 2\) untersuchen Verf. mit einer andern Methode den Fall, daß die Singularitäten des Randes isoliert, nicht-kritisch und von endlicher Exponentialordnung sind. Dann ist die obere Dichte der verschwindenden \(c_n - c_n^*\) höchstens \((k - 2)/(k - 1)\), abgesehen von einem genau faßbaren Ausnahmefall, in dem die Singularitäten die Ecken eines regelmäßigen \(k\)-Ecks bilden und identischer Natur sind und die fragliche Dichte selbst existiert und gleich \((k - 1)/k\) ist.