Sur les séries de Taylor admettant leur cercle de convergence comme coupure. (Q2586687)

Verf. hat in einer früheren Arbeit (Atti Accad. naz. Lincei., Rend., Cl. Sci. fis. mat. natur. (5) 29\(_{\text{2}}\) (1920), 316-318; F. d. M. 47, 178) die linearen perfekten Mengen ``vom Charakter \((A)\)'' definiert und untersucht und verwendet dieselben nun zur Konstruktion analytischer Funktionen, die den Einheitskreis zur natürlichen Grenze haben. Es sei \(p\) eine solche in \(\langle 0,\pi\rangle\) (und in keinem kleineren Intervall) gelegene Menge; \(P\) sei die Menge der Punkte \(e^{i\varphi}\), für die \(\varphi\) in \(p\) liegt. Dann lassen sich in \(P\) Folgen \(a_n = e^{i\theta_n}\) \((n = 1, 2,\ldots)\) angeben, die dort überall dicht liegen, und für die die Differenzen \(\theta_n - \theta_m\) in \(\langle -\pi, \pi\rangle\) überall dicht liegen. Hat die für \(|z| < 1\) reguläre Funktion \(f(z) = \sum c_nz^n\) in den Punkten \(a_n\) Singularitäten, so kann man in Anlehnung an den Hadamardschen Multiplikationssatz vermuten, daß unter Umständen \(F(z) = \sum c_n\overline{c}_nz^n\) nicht über den Einheitskreis hinaus fortsetzbar sein wird. Dieser Fall liegt nun, sofern nur \(\sum A_n\) absolut konvergiert, tatsächlich vor bei der Funktion \[ f(z) = \sum\dfrac{A_n}{a_n-z} = \sum c_nz^n, \] die in der ganzen Ebene mit Ausnahme von \(P\) regulär analytisch ist. Neben \(\sum |c_n|^2z^n\) ergeben dann auch \(\sum c_n^2z^n\), \(\sum c_n^k\overline{c}_n^hz^n\) (\(k,h\) positiv ganz, \(k + h \geqq 2\)) und \(\sum |c_{\nu_n}|^2z^n\) (\(\nu_n = ln + q\), \(l\) ganz \(\geqq 2\), \(q\) ganz \(> 0\)) nichtfortsetzbare Funktionen. Zu beachten ist, daß sich unter den erlaubten Mengen \(p\) solche vom linearen Maß \(0\) befinden (vgl. Verf., C. R. Acad. Sci., Paris, 209 (1939), 373-374; F. d. M. 65, 312).