Contributions to the theory of Hermitian series. II. The representation problem. (Q2586717)

Die Arbeit stellt den zweiten Teil der Untersuchungen des Verf. über Hermi\-tesche Reihen im komplexen Gebiet dar. Während der erste Teil (Duke math. J. 5 (1939), 875-936; F. d. M. 65) eine eingehende Begründung der Theorie der Hermiteschen Reihen im komplexen Gebiet brachte, wird nunmehr das Darstellungs- oder Entwicklungsproblem behandelt: Ist \(\boldsymbol H_n(z)\) die \(n\)-te normierte Hermitesche Funktion \[ \boldsymbol H_n(z)=[\pi^{1/2}2^nn!]^{-\tfrac12}(-1)^ne^{\tfrac{z^2}2} \frac{d^n}{dz^n}[e^{-z^2}], \] so läßt sich einer beliebigen Funktion \(f (z)\), (\(z = x + iy\)), die längs der reellen Achse meßbar ist und dort der Bedingung \(x^n e^{-\tfrac{x^2}2}f(x)\in L_1(-\infty, +\infty)\) für \(n = 0, 1, 2,\dots \) genügt, die Fourier-Hermitesche Reihe \[ f(z)\sim{\sum\limits_{n=0}^{\infty}}f_n\boldsymbol H_n(z)\quad\text{mit}\quad f_n={\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}f(t)\boldsymbol H_n(t)\,dt \tag{1} \] zuordnen. Es handelt sich darum, die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür anzugeben, daß eine analytische Funktion \(f (z)\) für komplexe Werte von \(z\) durch ihre Fourier-Hermitesche Reihe (1) dargestellt wird. Hinreichende, jedoch keineswegs notwendige Bedingungen haben \textit{G. N. Watson} (Proc. London math. Soc. (2) 8 (1910), 393-421; F. d. M. 41, 531 (JFM 41.0531.*)) und \textit{O. Volk} (Math. Ann., Leipzig, 86 (1922), 296-316; F. d. M. 48, 520 (JFM 48.0520.*)) angegeben. Verf. zeigt nun: Ist \(f (z)\) eine analytische Funktion, so ist eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß ihre Fourier-Hermitesche Reihe (1) existiert und in dem Streifen \(-\tau < y < \tau\) zur Summe \(f (z)\) konvergiert, die, daß \(f (z)\) in diesem Streifen regulär ist, und daß für jedes \(\beta\) mit \(0\leqq\beta<\tau\) eine endliche Zahl \(B(\beta)\geqq0\) exi\-stiert, mit der in dem Teilstreifen \(-\beta\leqq y \leqq\beta\) die Abschätzung \[ |f(x + iy)|\leqq B(\beta) \exp [- | x | (\beta^2 - y^2)^{1/2}] \] gilt. Es folgen noch Anwendungen auf Funktionen, die in einer Halbebene regulär bzw. meromorph sind. Sie ergeben sich durch Verbindung des vorstehenden Haupt\-satzes mit Ergebnissen von \textit{F.} und \textit{R. Nevanlinna} (vgl. Acta Soc. Sci. Fennicae A 50 (1922), Nr. 5 (F. d. M. 48, 358 (JFM 48.0358.*)), insbes. S. 38 und S. 40-42): a) Es sei \(f(z)\) in der Halbebene \(y > - \alpha\)(\(\alpha > 0\)) regulär und besitze eine Fourier-Hermitesche Reihe. Hat die Reihe einen Konvergenzstreifen positiver Breite, so kann \(f(z)\) in \(y\geqq0\) nicht vom Exponentialtypus sein. Insbesondere kann für ganze Funktionen die Reihe nur bei Funktionen vom Maximaltypus der Ordnung 1 oder von einer höheren Ordnung außerhalb der reellen Achse konvergieren. b) Ferner läßt sich unter Umständen auf Grund der Verteilung der Nullstellen und Pole sowie der Wachstumseigenschaften von \(f (z)\) eine Aussage über die Breite des Konvergenzstreifens der Reihe (1) machen. Es sei \(f(z)\) in der Halbebene \(y > - \alpha\)(\(\alpha > 0\)) meromorph, und es seien ihre Nullstellen und Pole in dieser Halbebene \(a_1, a_2,\dots\) bzw. \(b_1, b_2,\dots\), wobei überdies \(\Im(b_n)\geqq\beta>0\) gelte. Mit \(\arg a_n = \alpha_n\), \(\arg b_n = \beta_n\) werde \(d = \varlimsup\limits_{r\to\infty}\dfrac1r[\sum \sin \beta_n-\sum\sin\alpha_n]\) gesetzt, wobei die Summation jeweils über die Nullstellen bzw. Pole zu erstrecken ist, deren absoluter Betrag zwischen \(\beta\) und \(r\) liegt; ferner sei \[ q=\varlimsup\limits_{r\to\infty}\frac1{r\log r}{\int\limits_{0}^{\pi}} \log|f(re^{i\theta})|\sin\theta\,d\theta. \] Besitzt dann \(f(z)\) eine Fourier-Hermitesche Reihe mit der Konvergenzordinate \(\tau\), so gilt \(\tau\leqq\operatorname{Min}(\alpha,\beta,q+\pi d)\). Beispiele zeigen, daß diese Aussage eine bestmög\-liche ist.