Polynomials whose real part is bounded on a given curve in the complex plane. (Q2586761)

Sei \(\varGamma\) ein Jordanbogen, der aus einer endlichen Anzahl von analytischen Bogen besteht, welche sich in ihren Endpunkten unter positiven Außenwinkeln schneiden. Ist \(f(z)\) ein Polynom vom Grade \(n\) und \(|f(z)|\leqq1\) auf \(\varGamma\), so ist in jedem Punkt \(z_0\) von \(\varGamma\) nach \textit{Szegö} (Math. Z. 23 (1925), 45-61; F. d. M. 51, 97 (JFM 51.0097.*)) (1) \(| f' (z_0)|\leqq An^\alpha\), wo \(A\) nur von \(\varGamma\) und \(z_0\) abhängt und \(\alpha\pi\) der Außenwinkel von \(\varGamma\) in \(z_0\) ist. Ist \(\varGamma\) insbesondere der Kreis \(|z|=1\), so ist \(| f' (z)|\leqq n\) in \(| z |\leqq1\), wenn nur \(|\Re f(z)|\leqq1\) für \(| z|\leqq1\) ist (\textit{Szegö}, Schr. Königsberger gel. Ges. naturw. Abt. 5 (1928), 59-70; F. d. M. 54, 311). Verf. beweisen nun, daß die Abschätzung (1) schon daraus folgt, daß auf \(\varGamma\) \(|\Re\,f(z)|\leqq1\) ist, wo \(\varGamma\) eine Jordankurve der obenerwähnten Art ist. Es ist ferner \(|f(z_1) - f(z_2)| < A\log n\) (\(n> 1\)), wo \(z_1\) und \(z_2\) Punkte des von \(\varGamma\) begrenzten ab\-geschlossenen Bereichs sind und \(A\) nur von \(\varGamma\) abhängt. Die beiden Abschätzungen sind von bestmöglicher Ordnung für \(n\to\infty\).