Über das Typenproblem. (Q2586800)

Eine einfach zusammenhängende Riemannsche Fläche \(\mathfrak W\) ohne algebraische Windungspunkte sei nur über endlich vielen Grundpunkten \(w_j\) verzweigt; es darf ohne Einschränkung \(w_j = e^{\frac{2\pi ij}q}\), \(j = 0\), 1,\dots, \(q- 1\), gesetzt werden. Durch passende Schnitte längs gewisser der Strahlen \(\arg w =\dfrac{2\pi}qj\) wird die Fläche in Winkelgebiete zerfällt, die ihrerseits auf elementarem Wege quasikonform auf passende Streifengebiete ab\-gebildet werden. Durch Zusammenfügung dieser Streifengebiete entsteht die in \(\zeta=\infty\) punktierte Ebene, so daß auf diesem Wege zwischen \(\mathfrak W\) und \(| \zeta| <\infty\) eine eineindeu\-tige und, von belanglosen Ausnahmestellen abgesehen, stetig differenzierbare Abbil\-dung \(\zeta = \zeta(w)\) erhalten wird, deren Dilatationsquotient leicht zu berechnen ist. Ver\-steht man unter \(w= w (z)\) die Funktion, die \(\mathfrak W\) als Bild von \(|z|< R\leqq\infty\) erzeugt, so vermittelt \(\zeta = \zeta (z)\) eine quasikonforme Abbildung zwischen \(|z| < R\) und \(| \zeta | < \infty\) mit dem Dilatationsquotienten \(D_{\zeta,z} = D (r,\varphi)\). Nach wohlbekannter Methode schließt man aus der Divergenz von \({\int\limits_{r_1}^{r}}\dfrac1{{\int\limits_{0}^{2\pi}} D(t,\varphi)\,d\varphi}\cdot\dfrac{dt}t\) auf den parabolischen Typus der Fläche \(\mathfrak W\). \(D (r, \varphi)\) wird in geeigneter Weise durch Größen abgeschätzt, die unmittelbar aus dem Streckenkomplex abzulesen sind. Auf diese Weise erhält Verf. ein bekanntes hinreichendes Kriterium für das Eintreffen des Grenzpunktfalles, gültig für die ange\-gebene Flächenklasse.