Konstruktion der sämtlichen Lösungen einer Riemann\-schen Funktionalgleichung durch Dirichlet-Reihen mit Eulerscher Produktentwicklung. III. (Q2586804)

Fortsetzung von Teil II (Math. Ann., Berlin, 117 (1939), 39-64; F. d. M. 65, 355 (JFM 65.0355.*)), für die Bezeichnungen vergleiche man das angegebene Referat. Die in der Produktdarstellung für \(H_i(s)\) auftretenden Dirichletreihen \(H_i^{(Q)}(s)\) geben Anlaß zu weiteren Untersuchungen. Nach Satz 16 genügt die Betrachtung der Formen\-schar \(\mathfrak S=\mathfrak S_0(t,\varepsilon,Q,\mathfrak o)\) zu einem festen Eigenwertvektor \(\mathfrak o\) bei Anwendung von \(T_n\). Ihr Rang sei \(\mu\). Jede Dirichletreihe \(D (s)\) der zugeordneten Schar \(\mathfrak T = \mathfrak T_0(t, \varepsilon, Q, \mathfrak o)\) besitzt die Produktdarstellung \[ D(s)=t^{-s}K(s){\prod\limits_{(p,Q)=1}} \left(1-\frac{\omega(p)}{p^s}+\dfrac{\varepsilon(p)\,p^{r-1}}{p^{2s}}\right)^{-1}= t^{-s}K(s)\,P(s;\,\varepsilon,Q,\mathfrak o), \] in der \(t^{-s}P(s;\, \varepsilon, Q, \mathfrak o)\) für alle \(D (s)\subset\mathfrak T\) der gleiche Ausdruck ist, während die Kerne \(K(s)\) eine zu \(\mathfrak S\) und \(\mathfrak T\) isomorphe lineare Schar \(\mathfrak D=\mathfrak D(t, \varepsilon, Q, \mathfrak o)\) bilden, die insbe\-sondere \(H_i^{(Q)}(s)\) für \(D (s) = H_i(s)\) enthält. In \(K (s)\) treten nur Bestandteile auf, die von denjenigen Primzahlen \(q_1\), \(q_2\),\dots, \(q_h\) stammen, die in \(t\) und \(Q\) in gleicher Potenz aufgehen. Genauer: Die der Form \(\varphi(s)\) zugeordnete Dirichletreihe \(D (s) ={\sum\limits_{(m,t_1)=1}^{\infty}} a_m (mt)^{-s}\) besitzt den Kern \(K (s ; \varphi) = K (s) = {\sum\limits_{m\in\mathfrak R_h}} a_mm^{-s}\), wenn allgemein \(\mathfrak R_i\) die Zahlen \(m= q_1^{k_1}\cdot q_2^{k_2}\cdots q_i^{k_i}\) (\(i\leqq h\), \(k_j\geqq0\)) umfaßt. Der Übergang von \(K(s;\varphi)\) zu \(K (s;\varphi\big|T_{q_i}^t) ={\sum\limits_{\mathfrak R_h}}a_{mq_i}m^{-s}\) werde als Ausübung eines Operators \(V_i\) auf \(K(s)\) auf\-gefaßt. Im Fall \(h=1\) wird die Jordansche Normalform der Umsetzungsmatrix \(\varLambda\) einer Basis von \(\mathfrak D\) bei Anwendung von \(V\) benutzt, um zu zeigen, daß die Ausdrücke \[ w_\nu(q^{-s},\alpha)=q^{-(\nu-1)s}\left(1-\dfrac{\alpha}{q^s}\right)^{-\nu} \] eine neue Basis von \(\mathfrak D\) bilden, wenn \(\alpha\) alle charakteristischen Wurzeln von \(\varLambda\) durch\-läuft und \(\nu\) für jedes \(\alpha\) bis zur Vielfachheit der charakteristischen Wurzel \(\alpha\) ansteigt (Satz 21, 22). Für \(h \geqq 2\) werden die Dirichletreihen \(K^{(i)}(s) ={\sum\limits_{m\in\mathfrak R_i}} a_mm^{-s}\) (\(1\leqq i< h\)) ein\-geführt, die eine lineare Schar \(\mathfrak D^{(i)}\subset\mathfrak D\) bilden und invariant sind bei \(V_\varrho\) (\(1\leqq\varrho\leqq i\)). Man erhält dann durch Rückschluß bezüglich \(i\) eine Basis von \(\mathfrak D\), die aus \(G =G_1\cdot G_2\cdots G_h\) Produkten \({\prod\limits_{k=1}^{h}}w_{\nu_k}\big(q_k^{-s},\alpha_{l_k}\) besteht. \(\nu_k\) steigt dabei bis zur Vielfachheit der Nullstelle \(\alpha_{l_k}\) in dem zu \(V_k\) in \(\mathfrak D^{(k)}\) gehörenden Minimalpolynom vom Grad \(G_i\) an. Man kann daher jede Dirichletreihe, die einer ganzen Modulform der Stufe \(Q\) entspricht und ein Euler\-produkt bezüglich \(p\) mit \((p, Q) = 1\) besitzt, linear kombinieren aus einem endlichen Vorrat von Dirichletreihen mit vollständigem Eulerprodukt. (Satz 23.) Der Satz gilt auch für allgemeine Funktionenscharen \(\mathfrak B\) vom Rang \(\mu\) zu vorgege\-benen Primzahlen \(q_1\), \(q_2\),\dots, \(q_h\), wenn nur (1) \(K (s) = {\sum\limits_{m\in\mathfrak R_h}} a_mm^{-s}\) für \(K(s)\subset\mathfrak B\) und (2) \(K (s) \mid V_i\subset\mathfrak B\). Dann sind die Umsetzungsmatrizen \(\varLambda(q_i)\) paarweise vertauschbar und bilden einen maximalen Ring. Ferner bilden mit \(\varLambda(m)={\prod\limits_{i=1}^{h}}\varLambda(q_i)^{k_i}\) die \(\mu^2\) Ele\-mente der Funktionenmatrix \((L_{i,k}(s))={\sum\limits_{m\in\mathfrak R_h}}\varLambda(m)m^{-s}\) ein Erzeugendensystem der Menge \(\mathfrak B\) (Satz 24). Beim Beweis stößt Verf. auf die algebraische Frage der Existenz einer Schar \(\mathfrak B\) zu vorgegebenen \(\{q_1,q_2,\dots,q_k;\mu\}\) und \(h\) Matrizen \(\varLambda(q_i)\) vom Grad \(\mu\), die paarweise vertauschbar sind, einen maximalen Ring bilden und als Umsetzungs\-matrizen bei Anwendung der \(V_i\) auf eine Basis von \(\mathfrak B\) auftreten. Der Fall \(\mu=h=2\) ist stets möglich und wird durchgeführt. Im allgemeinen Fall müssen ein Vektor \(\mathfrak a\) und \(\mu\), Zahlen \(m_i \in\mathfrak R_h\) existieren, so daß die Vektoren \(\varLambda(m_i)\) \(\mathfrak a\) linear unabhängig sind. Das Hauptproblem, die Dirichletreihen anzugeben, die den ganzen Modulformen der Stufe \(Q\) entsprechen und eine vollständige (auf alle Primzahlen bezügliche) Eulerproduktent\-wicklung gestatten, kann jetzt auf eine Diskussion der Linearkombinationen der Pro\-dukte der \(w_{\nu_k} (q_k^{-s},\alpha_{l_k})\) zurückgeführt werden. Für eine Produktentwicklung nur be\-züglich der \(p\) mit \((p, Q) = 1\) ist der multiplikative Restbestandteil \(G (s)\) noch additiv aus den Produkten der \(w_{\nu_k}(q_k^{-s},\alpha_{l_k})\) zusammengesetzt, für die \(q_k\) die Primteiler von \(Q\) durchläuft. Setzt man nun voraus, daß eine vollständige Produktzerlegung gilt, so muß \(G (s)\) ein Produkt von Potenzreihen \(f_i(q_i^{-s})\) in \(q_i^{-s}\) sein (\(1\leqq i\leqq N\)). Man kann \(G(s)/f_N(q_N^{-s})\) ermitteln, indem man \(G (s)\) nach Potenzen von \(q_N^{-s}\) entwickelt. Der Ko\-effizient einer wirklich vorkommenden \(q_N^{-s}\)-Potenz stimmt bis auf einen konstanten Faktor mit \(G(s)/f_N(q_N^{-s})\) überein. Rückläufig erhält man so \(f_1(q_1^{-s})\) und ebenso \(f_i(q_i^{-s}) =\sum Cq_i^{-\gamma_is} w_{\nu_i}(q_{i}^{-s},\alpha_i)\). Die Struktur der Faktoren \(f_i(q_{i}^{-s})\) ist daher bis auf die endlich vielen Konstanten \(C\) bekannt. Schließlich konstruiert Verf. die Basisfunktionen \(K_i(s)\) der Schar \(\mathfrak B\) mit Hilfe der simultanen Transformation der \(\varLambda(q_i)\) auf Dreiecksgestalt. Er erhält zunächst Rekursionsformeln für die \(K_1^{(i)}(s)\), in denen nur die \(w_1(q_a^{-s},\lambda_{11}^{(a)})\) auftreten, ferner für die \(K_2^{(i)}(s)\), in denen die Matrizenelemente \(\lambda_{ik}^{(\nu)}\), die \(w_1(q_a^{-s},\lambda_{22}^{(a)})\) und die \(K_1^{(\nu)}(s)\) auftreten. Daraufhin können die weiteren \(K_g(s)\) rekursiv berechnet werden (Satz 25).