Contributions to the theory of Ramanujan's function \(\tau(n)\) and similar arithmetical functions. III. A note on the sum func\-tion of the Fourier coefficients of integral modular forms. (Q2586806)

Ist \(f(\tau)={\sum\limits_{n=1}^{\infty}}a_ne^{2\pi i n\tfrac\tau N}\) eine ganze, in den Spitzen verschwindende Modulform der negativen Dimension \(-r\) und der Stufe \(N\), so beweist Verf. \[ |\!{\sum\limits_{n\leqq x}}a_n=O\left(x^{\frac r2-\frac1{10}}\right)\quad (x\to+\infty). \tag{1} \] Für den Exponenten im \(O\)-Glied hatte \textit{Walfis}z (Math. Ann., Berlin, 108 (1933), 75-90; F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 213) den Wert \(\dfrac r2-\dfrac1{24}+\varepsilon\) gefunden. Nach einer Verschärfung der Ab\-schätzung von \(a_n\) durch Salié und Davenport ergab sich mit der Methode von Walfisz früher der Wert \(\dfrac r2-\dfrac1{18}+\varepsilon\), und Verf. erhält auf diese Weise aus der in Teil II der vor\-liegenden Arbeitenreihe angegebenen Abschätzung für \(a_n\) unmittelbar den Wert \(\dfrac r2-\dfrac1{15}\). Durch eine Verfeinerung der Methode von Walfisz und Anwendung von Theorem 1 aus Teil II gelangt Verf. auf wenigen Zeilen zu dem Ergebnis (1). (Teil II, Proc. Cam\-bridge philos. Soc. 35 (1939), 357-372; F. d. M. 65, 353 (JFM 65.0353.*).)