La geometria delle funzioni analitiche di più variabili ed i teoremi di esistenza e di unicità ad esse relativi. (Q2586818)

\(\sum(y_1,\dots, y_n, z_1,\dots, z_n)\) sei der reelle euklidische \(2n\)-dimensionale Raum, der den komplexen Raum \(S(x_1,\dots, x_n)\) mit \(x_j = y_j + iz_j\) (\(j = 1\), 2,\dots, \(n\)) darstellt. Verf. betrachtet in \(\varSigma\) die reellen algebraischen Mannigfaltigkeiten bei pseudokonformen Abbildungen, und zwar die charakteristischen Mannigfaltigkeiten \(M_{2k}\) (die Bilder in \(\varSigma\) der analytischen komplexen \(k\)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten in \(S\), im folgen\-den als c. M. bezeichnet) und die pseudocharakteristischen Mannigfaltigkeiten (ps.-c. M.) \(M_h\) der Art \(k\) (d. h. enthalten in der \(M_h\) zugeordneten c. M. der kleinsten Dimen\-sion \(2k\)). Die genannten Mannigfaltigkeiten \(M_h\) (\(h< 2n-1\)) der Art \(k\) (oder ins\-besondere die c. M. für \(h = 2k\)) werden durch die Tatsache charakterisiert, daß \(k\) die Höchstordnung der Differentiale der Bauart \(dx_{j_1}dx_{j_2}\dots dx_{j_k}\) ist, die nicht sämt\-lich verschwinden. Für \(k < n\) ist jede Mannigfaltigkeit \(M_h\) ps.-c. M. der Art \(\leqq h\) (im allgemeinen gilt das Gleichheitszeichen). Aus der geometrischen Charakteri\-sierung der linearen Räume, die charakteristisch sind in bezug auf zwei lineare Räume \(S_{n-1}'\) und \(S_{n-1}^{\prime\prime}\) von \(\varSigma\), die im Unendlichen konjugiert imaginär sind (Verf. nennt sie zyklische Räume), folgt die geometrische Charakterisierung der c. M. und der ps.-c. M. mit Hilfe ihrer Tangentenräume. Verf. dehnt dann seine Betrachtungen auf Mannigfaltigkeiten aus, die er bi\-charakteristisch und pseudobicharakteristisch nennt, in einem reellen euklidischen Raum \(\varSigma'\) von \(4n\) Dimensionen, der die komplexen Punkte von \(\varSigma\), d. h. die bikomplexen Punkte von \(S\) darstellt. Die Betrachtung von \(\varSigma'\) ermöglicht die Ausdehnung des Hauptsatzes über die charakteristischen \(M_{2h}\) auf das Komplexe: Durch jede reelle oder komplexe \(M_h\)(\(h < n\)) von \(\varSigma\) geht eine (komplexe) charakteristische \(M_{2h}\), außer wenn \(M_h\) eine reelle und ps.-c. M. der Art \(< h\) ist (in diesem Fall gehen durch die \(M_h\) unendlich viele charakteristische \(M_{2h}\)), oder wenn \(M_h\) eine (total komplexe) Null\-mannigfaltigkeit ist (dann existiert keine charakteristische \(M_{2h}\) durch \(M_h\)). Das Verfahren der Erweiterung des komplexen Feldes zum bikomplexen kann beliebig iteriert werden. An zweiter Stelle betrachtet Verf. die Hyperplanoide von \(\varSigma\) (das sind die Hyper\-flächen, die bei pseudokonformer Abbildung aus den Hyperebenen entstehen, d. h. Niveauhyperflächen der einzelnen \(n\)-harmonischen Funktionen, den Realteilen der analytischen Funktionen, von \(x_1\), \(x_2\),\dots, \(x_n\)). Ferner betrachtet Verf. die planoiden Mannigfaltigkeiten (pl. M., Schnitte von Hyperplanoiden, d. h. pseudokonforme Bilder linearer Räume) und die pseudoplanoiden Mannigfaltigkeiten (ps.-pl. M., die in pl. M. liegen). Die c. M. sind besondere pl. M. Jede Mannigfaltigkeit \(V_h\) der Di\-mension \(h\leqq n\) ist planoid, während die pl. M. \(V_{2n-r}\) mit \(2n - r > n\) dadurch zu charakterisieren sind, daß sie (analytische, reelle) Örter der c. M. einer Dimension \(\geqq 2 (n - r)\) sind. Wenn mit \(l\geqq0\) \(2(n-r+l)\) die höchste Dimension solcher c. M. ist (die in einem System \(\infty^{r-2l}\) variieren), so ist die \(V_{2n-r}\) ebenfalls ps.-c. der Art \(n - l\) (jedoch nicht ps.-c. für \(l = 0\)). Im letzten Teil der Arbeit werden allgemeine Existenzsätze (von lokalem Charakter) für analytische Funktionen von \(n\) komplexen Veränderlichen und für \(n\)-harmonische Funktionen angegeben. Ist eine nicht ps.-c. \(V_{2n-r}\) und auf dieser eine Funktion \(f= u + iv\) gegeben (\(u\), \(v\) sind reelle holomorphe Funktionen der Punkte der \(V_{2n-r}\)), so ist für \(r < n\) \(f\) dann und nur dann Spur einer analytischen Funktion \(F(x_1,\dots, x_n)\), wenn die \(u\), \(v\) auf \(V_{2n-r}\) einem gewissen System von Differentialgleichungen erster Ordnung \(A\) genügen. Für \(r = n\) gibt es keine Be\-dingung für \(u\) und \(v\), und \(F\) ist noch eindeutig bestimmt durch \(f\). Ein entsprechendes Ergebnis erhält man bei der Bestimmung einer \(n\)-harmonischen Funktion \(U\), wenn die Spur~\(u\) auf einer Mannigfaltigkeit \(V_{2n-r}\) bestimmt ist, die hier als nicht ps.-pl. vorausgesetzt wird. Es tritt nur für \(r < n\) an die Stelle von \(A\) ein anderes Differential\-system \(B\) (von höherer als erster Ordnung); für \(r = n\) ergibt sich aber, daß \(U\) nicht durch \(u\) eindeutig bestimmt ist. Falls für \(r =1\) die \(V_{2n-1}\) geschlossen ist, kann der erwähnte lokale Satz in einen Satz ``im großen'' übergeführt werden, der die Lösung des Dirichletproblems für \(n\)-harmonische Funktionen liefert. Die Ausnahmemannig\-faltigkeiten des obengenannten lokalen Existenzsatzes sind die ps.-c. M. und die ps.-pl. M. Verf. gibt auch in diesen Fällen genau die Bedingungen an, denen \(f\) (oder auch \(u\)) genügen müssen, damit sie Spuren der Funktion \(F\) (bzw. \(U\)), die aber nicht eindeutig ist, werden. Schließlich wird der Fall untersucht, daß die Mannigfaltig\-keit \(V_h\), auf der die Spurfunktionen \(f\) oder \(u\) gegeben sind, eine Dimension \(h < n\) besitzt und daher notwendig planoid und ps.-c. ist.