Sull'estensione della formula integrale di Cauchy e sui residui degli integrali \(n\)-pli, nella teoria delle funzioni di \(n\) variabili complesse. (Q2586819)

Verf. gibt einige topologische Betrachtungen im reellen euklidischen Raum \(S_{2n}(x_1', x_1^{\prime\prime},\dots, x_n', x_n^{\prime\prime})\) der \(n\) komplexen Veränderlichen \(x_\nu = x_\nu'+ix_{\nu}^{\prime\prime}\) (\(\nu = 1\),\dots, \(n\)) und beweist insbesondere, daß es für jeden orientierten \(n\)-Zykel \(Z_n\) der topologischen Mannigfaltigkeit \(U_{2n} = S_{2n}-T_{2n-2}\) (\(T_{2n-2}\) ist die Gesamtheit der \(n\) charakteri\-stischen Räume \(x_1=0\),\dots, \(x_n=0\)) ein ganzes \(N\) \(\big(\!\!\lesseqqgtr 0\big)\) gibt, so daß \(Z_n\sim N\cdot W_n\) in \(U_{2n}\) ist; \(W_n\) bezeichnet das topologische Produkt von \(n\) Kreisen in den Ebenen \((x_\nu',x_{\nu}^{\prime\prime})\) mit den Zentren im Ursprung. Die Zahl \(N\), die als Verschlingungszahl (``in\-dice di allacciamento'') von \(Z_n\) mit \(T_{2n-2}\) bezeichnet wird, ergibt sich aus \(N = (- 1)^{\tfrac{n(n-1)}2}[K_nZ_n]\), wo \(K_n\) der \(n\)-Zykel von \(S_{2n} \bmod T_{2n-2}\) ist, erklärt aus den Beziehungen \(x_\nu'\geqq 0\), \(x_\nu^{\prime\prime} = 0\), und \([K_nZ_n]\) der Kroneckersche Index von \(K_n\) und \(Z_n\) in \(U_{2n}\) ist. Verf. verschärft und vervollständigt auf dieser Grundlage die Erweiterung der Cauchyschen Integralformel bei \(n\) komplexen Veränderlichen, die vom Ref. für \(n = 2\) schon teilweise gewonnen worden war (Atti Accad. naz. Lincei, Rend., Cl. Sci. fis. mat. natur. (6) 24 (1937), 33-36; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 305), und erzielt folgendes Ergebnis: Ist \(f(x_1,\dots,x_n)\) regulär analytisch in einem Gebiet \(\varGamma_{2n}\), das den Ursprung \(O\) enthält, und ist \(Z_n\) ein orientierter \(n\)-Zykel in \(\varGamma_{2n}\), welcher \(T_{2n-2}\) nicht trifft und in \((\varGamma_{2n}-T_{2n-2}) + O\) homolog Null ist, so gilt mit \(N\) wie oben: \[ \frac1{(2\pi i)^n}{\int\limits_{Z_n}}\frac{f(x_1,\dots,x_n)} {x_1x_2\ldots x_n}\,dx_1\cdots dx_n=N\,f(0,\dots,0). \] Daraus kann eine allgemeinere Beziehung abgeleitet werden \[ \frac1{(2\pi i)^n}{\int\limits_{Z_n}}\frac{f(x_1,\dots,x_n)} {\varphi_1\varphi_2\ldots \varphi_n}\,dx_1\cdots dx_n=N\,\frac {f(x_1^0,\dots,x_n^0)}{J(x_1^0,\dots,x_n^0)}, \tag{1} \] dabei sind \(f\), \(\varphi_1\),\dots, \(\varphi_n\) analytische Funktionen der Veränderlichen \(x_1\),\dots, \(x_n\) und regulär in einer \(2n\)-dimensionalen Umgebung des Punktes \(O(x_1^0,\dots,x_n^0)\), in der die Funktionaldeterminante \(J =\dfrac{\partial (\varphi_1,\dots,\varphi_n)}{\partial (x_1,\dots,x_n)}\) nicht verschwindet; die \(\varphi_\nu\) verschwinden sämtlich in \(O\); \(Z_n\) ist hier ein orientierter \(n\)-Zykel dieser Umgebung, der die (redu\-zible) charakteristische Mannigfaltigkeit \(\varphi_1\cdot\cdots\cdot\varphi_n= 0\) nicht trifft und mit ihr in \(O\) die Verschlingungszahl \(N\) hat (ähnlich wie oben erklärt). Für \(N = 1\) wird die rechte Seite von (1) als ``Residuum'' der Funktion \(\dfrac{f(x_1,\dots,x_n)}{\varphi_1\cdots\varphi_n}\) in \(O\) erklärt. Schließ\-lich gewinnt Verf. aus (1) einen Satz ``im großen'' unter der Annahme, daß sich die charakteristischen Mannigfaltigkeiten \(\varphi_1 = 0\),\dots, \(\varphi_n = 0\) in endlich vielen Punkten \(O_1\),\dots, \(O_s\) eines Gebiets \(\varGamma_{2n}\) von \(S_{2n}\) einfach schneiden, wo \(f\) und die \(\varphi\) regulär sind. Dieser Satz erweist sich als besonders bedeutungsvoll für \(f= J\).