Sur l'évaluation de quelques sommes pour une fonction définie sur un réseau. (Q2586840)

Ein Gebiet \(D\) des \(n\)-dimensionalen Raumes sei von einem Netz von Würfeln mit der Kantenlänge \(h\) überdeckt. In den Knotenpunkten des Netzes sei eine beliebige Funktion \[ \begin{gathered} u_{\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n}=u(\alpha_1h,\alpha_2h,\dots,\alpha_nh)\\ (\alpha_i=0,\pm1,\pm2,\dots,\qquad i=1,2,\dots,n) \end{gathered} \] erklärt. Aus dem Gebiet \(D\) werden die Punkte ausgeschlossen, die nicht zu ganz in \(D\) liegenden Würfeln des Netzes gehören. \(D'\) sei der größte zusammenhängende Teil des übrigbleibenden Gebietes, der einen gewissen festen Punkt \(P_0\) enthält. Sei \[ \begin{gathered} \sigma_l={\sum\limits_{\beta_1+\cdots+\beta_n=l}}\big({\sum\limits_{D'}} |\varDelta_{\beta_1\cdots\beta_n}u|^p\,h^n\big)^{\tfrac1p}\\ \sigma_0=\big({\sum\limits_{D'}}|u|^q\,h^n\big)^{\tfrac1q},\qquad \sigma={\sum\limits_{D'}}|u|\,h^n, \end{gathered} \] wo z. B. \[ \varDelta_{10\,\cdots0}u_{\alpha_1\cdots\alpha_n}=\frac {u_{\alpha_1+1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n}-u_{\alpha_1,\cdots,\alpha_n}}h \] und die höheren Differenzen entsprechend erklärt sind, ferner \[ p>1,\qquad q>1,\qquad \frac1q=\frac1p-\frac ln \] ist. Die Summe \({\sum\limits_{D'}}v\) ist in der Weise gebildet, daß man für jeden Netzwürfel aus \(D'\) das arithmetische Mittel der Werte von \(v\) in den Eckpunkten bestimmt und dann über alle Würfel summiert. Verf. beweist, daß \[ \sigma_0\leqq M\sigma_l+L\sigma \] ist, wo \(M\) und \(L\) weder von der Wahl der Funktion \(u\) noch von der Netzkonstante \(h\), sondern nur von der Gestalt des Gebiets \(D\) abhängen (vgl. Voranzeige in C. R. Acad. Sci. URSS (2) 25 (1939), 563-566; F. d. M. 65). In einer früheren Arbeit (Rec. math. Moscou, (2) 4 (1938), 471-497; F. d. M. \(64_{\text{II}}\), 1100) hatte Verf. eine ähnliche Ungleichung für Integrale und Ableitungen bewiesen.