Über die Aufgabe 2309. (Q2586841)

\(P_0\), \(P_1\),\dots, \(P_n\),\dots sei eine Folge von Polynomen in \(x\), die auf Grund der Rückschlußgleichung \(P_{n+1}P_{n-1}-P_n^2=A\cdot B^{n-1}\) (\(n = 1\), 2,\dots) bestimmt werden sollen, in der \(A\) und \(B\) gegebene Polynome sind. Ist insbesondere \(A= -B\cdot P_0^2\), also die Rückschlußgleichung von der Form \(P_{n+1}P_{n-1} - P_n^2 = - B^n\cdot P_0^2\) (\(P_0\neq0\), \(B\neq 0\)), so heißt die Reihe regelmäßig. In einigen Fällen kommt die Lösung der all\-gemeinen Aufgabe auf die Bestimmung einer regelmäßigen Folge hinaus. Die regel\-mäßigen Folgen sind von verschiedener Natur, je nachdem \(B\) ein vollständiges Quadrat ist oder nicht. Im ersten Fall ist \(P_n=c_n(\sqrt B)^nP_0\)(\(n = 0\), 1, 2,\dots, \(m + 1\)), \(P_{m+2} = UP_{m+1}\), \(P_n = UP_{n-1} - BP_{n-2}\)(\(n = m + 3\), \(m + 4\),\dots), wo die Koeffi\-zienten \(c_i\) und die Zahl \(m\) durch die Bedingungen \(c_0 = 1\), \(c_m = 0\), \(c_{n+1}c_{n-1} -c_n^2 = - 1\) (\(n = 1\), 2,\dots, \(m\)) bestimmt sind, und \(U\) ein von Null verschiedenes Polynom ist. Im zweiten Fall ist \(P_{2n-1}= 0\), \(P_{2n} = - B^nP_0\)(\(n = 1\), 2,\dots, \(m\)), \(P_n = U\cdot P_{n-1}-BP_{n-2}\)(\(n = 2m + 1\), \(2m + 2\),\dots). Nach Erledigung der besonderen Fälle \(A = 0\), \(B=0\) ergibt sich für das allgemeine Problem die Lösung: \(P_n = UP_{n-1}- BP_{n-2}\)(\(n = 2\), 3,\dots), wo die Polynome \(P_0\), \(P_1\), \(U\) der Gleichung \(P_1^2-UP_0P_1+BP_0^2+ A= 0\) genügen müssen. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer Lösung ist, daß \((U_0^2-4B)P_0^2 - 4A\) ein vollständiges Quadrat sein muß.