On a hystero-differential equation arising in a pro\-bability problem. (Q2586849)

Verf. geht aus von folgendem Problem der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Es sei (mit konstantem \(c\)) \(c\cdot t\) die wahrscheinliche Anzahl des Eintritts eines (seltenen) Ereignisses während irgendeiner Zeit \(t\), \(\tau\) eine feste Zeitspanne. Welches ist die Wahr\-scheinlichkeit \(P (t)\) dafür, daß während der ganzen Dauer \(t\) das Ereignis in irgend\-einer Zeitspanne \(\tau\) mindestens zweimal eingetreten ist? Für \(t\leqq\tau\) ist die Lösung trivial. Für \(t > \tau\) erhält Verf. mit der Abkürzung \(y=ct\), \(\eta=c\tau\) zur Bestimmung von \(P(y)\) die Funktionaldifferentialgleichung \[ P'(y) = 1 - P(y) - [1 - P(y-\eta)] e^{-\eta}, \] die mit Hilfe der Transformation \(P(y) = 1 - e^{-y}f(y)\) die einfachere Form \[ f'(y) = f(y-\eta)\quad y\geqq\eta \tag{1} \] annimmt. Wird die Taylorentwicklung \[ f(y-\eta)=f(y)-\eta f'(y)+\frac1{2!}\eta^2f''(y)-\cdots \] angesetzt, so erhält man aus der Kenntnis von \(f(y) = 1 + y\) im Intervall \(0\leqq y \leqq\eta\) durch sukzessive Integration den Wert von \(f(y)\) in den folgenden Intervallen \((n - 1)\eta\leqq y\leqq n\eta\). Nun stellt sich Verf. die Aufgabe, einen für alle Werte von \(y\) gleichzeitig gel\-tenden analytischen Ausdruck für \(f(y)\) aufzustellen. Er muß die Form \[ f(y) ={\sum}a_ke^{m_ky} \] besitzen, wo \(m_k\) die unendlich vielen (bis auf eine reelle paarweise konjugiert komplexen) Wurzeln der Gleichung \(m_ke^{\eta m_k}=1\) bedeuten. Die \(a_k\) ergeben sich dann aus der Beziehung \[ \left(\eta+\dfrac{1}{m_k}\right)a_k= f(\eta)+{\int\limits_{0}^{\eta}}f(y) e^{-m_ky}dy. \] Im Falle \(\eta=1\) werden die Rechnungen für den hier interessierenden Fall \(f(y) = 1 + y\) für \(0\leqq y\leqq1\) durchgeführt.