Sull'unicità delle soluzioni dei sistemi di equazioni diffe\-renziali ordinarie. (Q2586854)

Im Rahmen der Begriffsbildungen aus der Theorie der reellen Funktionen wird für die Eindeutigkeit eines Lösungssystems der Differentialgleichungen \(y_i' =f_i(x,y_1,\dots,y_n)\) (\(i= 1\),\dots, \(n\)) ein hinreichendes Kriterium angegeben, das als eine Verallgemeinerung der Lipschitzbedingung angesehen werden kann. Der Satz lautet (alle Funktionen sind im folgenden reell): In dem Grundgebiet der Funktionen \(f_i\) be\-trachte man um den Punkt \(\overline{P}=(\overline{x}, \overline{y}_1,\dots, \overline{y}_n)\) den Bereich \(R\) mit \(|x - \overline{x}|\leqq\alpha\), \(|y-\overline{y}_i|\leqq\beta\). Es sei \(\omega(u)\) eine für \(u > 0\) positive stetige Funktion mit \[ {\lim\limits_{\varepsilon\to+0}}{\int\limits_{\varepsilon}^{u_0}} \frac{du}{\omega(u)}= +\infty \] für \(u_0 > \varepsilon > 0\), und es sei \(M (x)\) eine in \((\overline{x}, \overline{x}+\alpha)\) gegebene Funktion, die für \(\overline{x} < x_1 < \overline{x} + \alpha\) zwischen den Grenzen \(x_1\) und \(\overline{x} + \alpha\) ein Lebesguesches Integral besitzt, das für \(x_1\to\overline{x} + 0\) einem endlichen Grenzwert zustrebt. Wenn dann für zwei in \((\overline{x}, \overline{x}+\alpha)\) stetige und für alle \(x > \overline{x}\) totalstetige Systeme \(y_1(x)\),\dots, \(y_n(x)\) und \(Y_1(x)\),\dots, \(Y_n(x)\), die für fast alle \(x\) aus \((\overline{x}, \overline{x} + \alpha)\) den Differentialgleichungen genügen und beide vom Punkte \(\overline{P}\) ausgehen (d. h. für alle \(i\) der Bedingung \(y_i(\overline{x})= Y_i(\overline{x}) = \overline{y}_i\) genügen) und in \(R\) verlaufen, das Kriterium erfüllt ist \[ \{f_i(x,y_1,\dots,y_n) - f_i(x,Y_1,\dots,Y_n)\}\cdot(y_i - Y_i)\leqq M (x)\cdot\omega\left({\sum\limits_{1}^{n}}[y_i-Y_i]^2\right) \] für \(i = 1\),\dots, \(n\) und alle \(x\), \(y_i\), \(Y_i\) aus \[ \overline{x}<x\leqq \overline{x}+\alpha, -\beta\leqq y_i<Y_i\leqq\beta\text{ resp. }-\beta\leqq Y_i < y_i\leqq\beta, \] so sind die beiden Systeme \textit{identisch} für alle \(x\) aus \(\overline{x}\leqq x\leqq \overline{x} + \alpha\). Ein analoger Satz gilt entsprechend, auch für das Intervall \((\overline{x}-\alpha, \overline{x})\) an Stelle von \((\overline{x}, \overline{x} + \alpha)\). -- Für \(\omega(u)\equiv u\) ergibt sich hieraus ein Satz von \textit{McShane} (Bull. Amer. math. Soc. 45 (1939), 755-757; F. d. M. 65, 367 (JFM 65.0367.*)) in geeigneter Formulierung, der das Kriterium von \textit{Lipschitz} in der von \textit{Carathéodory} angegebenen Verallgemeinerung enthält (``Vorlesungen über reelle Funktionen'', Berlin 1918; F. d. M. 46, 376 (JFM 46.0376.*)). Für \(n = 1\) erhält man einen Satz von \textit{Tonelli} (Atti Accad. naz. Lincei, Rend., Cl. Sci. fis. mat. natur. (6) 1 (1925), 272-277; F. d. M. 51, 332 (JFM 51.0332.*)), als dessen natürliche Verallgemeinerung für beliebiges \(n\) das vor\-liegende Theorem erscheint.