Uber die Lösungen einer quasi-Differentialgleichung der \(n\)-ten Ordnung. (Q2586865)

Untersuchungen betreffend Lösungen der Differentialgleichung (D) \(f^{\{n\}} - \lambda f =f^*\), wobei \[ f^{\{k\}}=iP_{k,k}\frac d{dx}f^{\{k-1\}}+P_{k,k-1}f^{\{k-1\}}+\cdots+ P_{k,0}f^{\{0\}};\qquad f^{\{0\}}=P_{0,0}f, \] \(i=\sqrt{-1}\) und \(\lambda\) einen komplexen Parameter bedeuten. Die Buchstaben \(j\), \(k\); \(\alpha\), \(\beta\) nehmen folgende Werte an: \(j = 0\),\dots, \(n\); \(k = 1\),\dots, \(n\); \(\alpha = 0\),\dots, \(n - [n/2]\); \(\beta= 0\),\dots, \([n/2]\). Über die \(P\), \(f^*\) werden die folgenden Voraussetzungen gemacht: 1. \(P_{j,\nu}(x)\) für \(\nu\leqq j\), \(f^*(x)\) sind in einem endlichen oder unendlichen Intervalle \((a, b)\) komplexe \(L\)-meßbare Funktionen; 2.\(\dfrac1{P_{j,j}(x)}\), \(P_{k,\nu}(x)\) für \(\nu < k\), \(f^*(x)\) sind in jedem im Innern von \((a, b)\) liegenden endlichen abgeschlossenen Intervalle \((c, d)\) Funktionen \(L_2\); 3. \(P_{n-\beta,n-\alpha}P_{n-\alpha,n-\alpha}:P_{n-\beta,n-\beta}=P_{\alpha,\beta}\) für \(\beta\leqq\alpha\). Unter den Voraussetzungen 1., 2. besitzt (D) in dem Intervalle \((c, d)\) genau eine Lösung, die in einem beliebigen Punkte \(x_0\in(c,d)\) beliebig vorgegebene Anfangswerte \(f_0\),\dots, \(f_{n-1}\) annimmt. Sind alle drei Bedingungen 1.--3. erfüllt, und ist außerdem \(\Im(\lambda)\neq0\), so gibt es für jedes \((a< )\allowmathbreak c( <b)\) in den Intervallen \((a, c)\), \((c, b)\) linear unabhängige Lösungen \(L_2\) der homogenen Differentialgleichung \(f^{\{n\}}-\lambda f= 0\), und ihre Anzahl ist immer durch einen der folgenden Fälle I-IV gegeben: \[ \begin{aligned} {\mathfrak I}(\lambda)<0 & {\mathfrak I}(\lambda)>0 & (a,b) \tag \\ \end{aligned} \] Zum Beweise dieser Resultate wird eine Methode angewendet, die von \textit{Weyl} und \textit{Windau} zu Untersuchungen über Differentialgleichungen zweiter und vierter Ordnung verwendet wurde (Math. Ann., Leipzig, 68 (1910), 220-269 bzw. 83 (1921), 256-279; F. d. M. 41, 343 (JFM 41.0343.*); 48, 519).