Sull'integrazione approssimata di una particolare equazione differenziale. (Q2586883)

Die Differentialgleichung \[ \dfrac{d^2y}{dx^2}+\biggl(\dfrac{2\pi}{\lambda}\biggr)^2y=0, \] wo \(\lambda\) eine reelle Funktion von \(x\) ist, wird durch die Transformation \[ y = \sqrt{\dfrac {I\lambda}{\pi}} \sin \vartheta, \quad \dfrac{dy}{dx}=\sqrt{\dfrac{4\pi I}{\lambda}}\cos \vartheta \] zurückgeführt auf das System \[ \dfrac{d\vartheta}{dx}=\dfrac{2\pi}{\lambda}-\tfrac12\dfrac{d\log \lambda}{dx}\sin 2\vartheta, \quad \dfrac{dI}{dx}=I\dfrac{d\log \lambda}{dx}\cos 2\vartheta. \] Hier werden, wenn die Anfangsbedingung \(\vartheta (0) = \vartheta_0\) vorgeschrieben ist, die rechten Seiten nach Potenzen von \(\vartheta - \vartheta_0\) entwickelt und die Potenzen von der zweiten an weggelassen, worauf Integration durch Quadraturen möglich ist. Es wird ein Intervall bestimmt, in dem der bei dieser Methode begangene Fehler kleiner als \(\varepsilon\) bleibt.