Solutions of Mathieu's equation. (Q2586884)

Die Mathieusche Differentialgleichung \(\dfrac{d^2y}{dt^2}+\varepsilon (1 + k \cos t) y = 0\) besitzt eine gerade und eine ungerade Lösung \(g(t)\) bzw. \(h(t)\) mit \(g(0) =1\), \(g' (0) = 0\), \(g(-t) = g (t)\); \(h(0) = 0\), \(h'(0) = 1\), \(h(-t) = -h(t)\). Es ist \(g(2\pi) = h'(2\pi) = b\), \(g(2\pi )h'(2\pi) - h (2\pi ) g' (2\pi ) = 1\); setzt man \(\sigma_1 = b + \sqrt{b^2-1} = e^{2\pi i\mu}\), und \(H (t) = \dfrac{\sqrt{1-b^2}}{h(2\pi)}h (t)\), so sind \(u_1 (t) = H (t) \sin \mu t + g (t) \cos \mu t\), \(u_2(t) = H (t) \cos \mu t-g (t) \sin \mu t\) periodisch mit der Periode \(2\pi \); es ist \[ u_1'' + [\varepsilon (1 + k \cos t) - \mu^2] u_1 = 2\mu u_2',\quad u_2''+ [\varepsilon (1 + k \cos t) - \mu ^2] u_2 = - 2\mu u_2'. \] Es wird dargelegt, welchen Umfang an Kenntnissen über diese hier definierten Größen man zu einem vollständigen Überblick über die Lösungen der Mathieuschen Differentialgleichung benötigt, und es werden u. a. für \(0\leqq k \leqq 1\) und \(0 \leqq \varepsilon \leqq 10\) Beispiele für den Verlauf von \(g, h\), und Tabellen für \(b\) und die erste Nullstelle von \(g\) nebst zahlreichen Bemerkungen über mathematische Hilfsmittel zur numerischen Berechnung der Lösungen mitgeteilt.