Über die Integration gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen. (Q2586889)

Verf. verwendet die Laplacesche Umformung, um ein Integral der Gleichung (1) \(\sum\limits _{i=0}^n X_i(x)y^{(n-i)}=F(x)\) zu bestimmen. Durch eine Laplacesche Umformung bilde man aus jedem Koeffizienten \(X_i\) die Funktion \(\int \limits _c^{+\infty} e^{-\alpha x}X_i d\alpha \) und aus einer Funktion \(\psi (x)\) die Funktion \(F (x) = \int \limits _c^{+\infty} e^{-\alpha x} \psi (\alpha)d\alpha\). Ein Integral der Gleichung (1) besitzt die Form: \[ y(x)=\int\limits_c^{+\infty} \dfrac{ e^{-\alpha(x+c)}\int\limits_{\varkappa-i\infty}^{\varkappa+i\infty} e^{\alpha x} F(x)dx }{ 2\pi i \alpha \biggl [ \sum \limits_{i=0}^n(-1)^{n-1}\alpha ^{n-i} \biggl(\int\limits_c^{+\infty} e^{-\alpha x} X_i dx\biggr) \biggr] } d\alpha.\tag{2} \] Es sei bemerkt, daß in der Arbeit die Bedingungen für das Konvergenzgebiet des Integrals in (2) fehlen.